etre de"montree par la mthode de M. Poisson. En effet, au lieu d'a- 



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voir, comme dans le probleme de la chaleur, / W'dx= o, V ne dif- 



J o 



ferant de V que par le simple changement de r en r', on aura . . . 



/*! 



/ VUVr=o, U' differant de V et par son parametre r' el par sa 



/ o 



composition en x. Neanmoins, si 1'on considere les fonctions V qui re- 

 pondent aux diverses racines r&elles et positives , en nombre infini, de 

 cette equation <sr(r) = o, on trouve que ces fonctions jouissent de 

 tontes les proprietes que M. Sturm a reconnu leur appartenir dans le 

 probleme de la chaleur. 



Ainsi, quand x varie de o a /, celle des fonctions V qui repond 

 a la plus petite valeur de r ne s'eVanouit jamais , et celle qui repond 

 a la if racine s'^vanouit ( n i ) fois. De plus , si 1'on multiplie par des 

 constantes quelconques celles de ces fonctions qui repondent aux ra- 

 cines ayant successivement pour indices m, m -f- i, . . . . n, et qu'on egale 

 la somme a zero, 1'^quation ainsi formee aura ( m i ) racines an moins 

 et ( n i ) racines au plus , 1'inconnue x etant supposee >o et < /. 



Maintenant si 1'on prend pour integrate gene>ale de liquation aux 



differences partielles -r = ^- 3 , la somme de toutes les integrates par- 



ticulieres dont il vient d'etre question , on prouve par une mthode 

 semblable a celle mentionnee plus haul, la possibilite de representer 

 1'etat initial f(x}. Et le probleme propose se trouve ainsi completement 

 resolu, du moins quand la serie exprimant la valeur de u est conver- 

 gente. Cette solution a cela de remarquable qu'elle ne depend en aucune 

 fac.on de la realite des racines de 1'equation <&r ( r ) = o. Mais, revenant 

 sur cette equation nr ( r) = o, je prouve en dernier lieu qu'elle a toutes 

 ses racines reelles : le moyen que j'emploie pour cela est , dans le cas 

 particulier du mouvement de la chaleur, moins simple que celui de 

 M. Poisson, mais il est plus general, puisqu'il s'e"tend a des equations 

 auxquelles 1'autre ne s'appliquerait pas ; ce qui du reste n'est jamais 

 arrive dans les questions physico-mathematiques. 



J'aurais pu trailer des Equations plus compliquees que celle dont j'ai 



fait choix, -r = -j-r t . Mais je me suis contente de ce seul exemple. Le 



lecteur suppl^era sans peine aux details que j'ai cru devoir omettre. Et 

 d'aillfurs il faut savoir se borner dans les recherches d'analyse pure 

 qui ne presentent actuellement aucune utilit^ pratique. 



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