( 622 ) 



analyse. Lettre cleM. Liouville a M. Arago, concernant la demons- 

 tration de la convergence d'une se'rie qui se presente en analyse lorsqiion 

 cherche a trouver les lois du mouvement de la chaleur dans line barrc 

 heterogene. 



Je prends la liberie de vous faire part de quelques resultats nouveaux , 

 auxquels j'ai eu le bonheur d'arriver il y a quelques jours , en continuant 

 mes recherches sur les equations aux differences partielles. Ces resultats 



sont relatifs a la serie 



V/ gVf(x)dx 



C gV*dx 



dont je me suis occupe dans un memoire presente a 1'Academie le 3o 

 novembre i835, et imprime dans le cahier de juillet de mon Journal : 

 cette serie se presente en analyse lorsqu'on cherche a trouver les lois du 

 mouvement de la chaleur dans une barre heterogene. La fonction V satis- 

 fait a liquation differentielle 



oug, k, I sont des fonctions positives de x, et r un parametre ayant pour 

 valeurs successives les racines d'une certaine equation transcendante 

 <T*r(r) = o. 



Lorsque la serie (i) est convergente, on peut prouver qu'elle a pour 

 valeur la fonction f(x), du moins quand la variable x est comprise entre 

 les limites x, X. C'est ce que j'ai fait voir dans le memoire cite plus 

 haul. Mais il restait a demontrer la convergence de la serie (i); et j'espere 

 y etre enfin parvenu aujourd'hui. Ma demonstration paraitra peut-etre de 

 quelque importance aux yeux des geometres qui ont traite des questions 

 semblables, et savent corabien elles offrent de difficultes. 



Cette ddmonstration suppose que les fonctions g,k, f(x) et leurs 

 derivees premieres et secondcs conservent toujours des valeurs finies , 

 lorsque x croit de x a X. Cela etant , si Ton d^signe par n un indice 

 tres grand, par u m la valeur absolue du n in " terme de la serie (i), et 

 par M une constante facile a calculer et independante de n , je prouve que 



Ton a,<-: or la serie qui a pour terme general , est convergente; 



