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 monstration sur le principe de la communication de la chaleur , ramene le 

 cas ou la temperature du milieu, et celle de certains points appartenant au 

 corps qui y est plonge , seraient exprimee par des fonctions arbitraires du 

 temps, au cas simple ou ces temperatures seraient constantes. 



Dans un autre mmoire, lu a PAcademie le 23 avril i832 , je fis con- 

 naitre une methode analogue, relative aux questions de mecanique. La 

 demonstration que j'en donnai, etait fondee sur le principe de la super- 

 position des petits mouvements, principe auquel je donnai quelque exten- 

 sion, et un peu plus de precision qu'on ne lui en avait donne j usque-la. 

 Mais en meme temps, je fis remarquer que la methode etait independante 

 de toute consideration mecanique, et qu'elle pouvait s'appliquer a des 

 equations differentielles d'une autre forme. Ainsi, par exemple, la ques- 

 tion traitee par M. Liouville , dans le memoire qu'il a lu dernierement a 

 l'Academie , pourrait immediatement etre elevee au cas ou les valeurs de 

 la variable principale, relatives a certaines valeurs de l'abscisse, au lieu 

 d'etre constamment nulles, seraient exprimees par des fonctions arbi- 

 traires du temps. Cette application simple de notre methode , n'aura pas 

 echappe sans doute a cet habile geometre. 



Neanmoins, comme je n'ai pas donne de demonstration independante 

 de considerations physiques ou mecaniques, et relative a des equations 

 d'un ordre superieur au second , j'ai pense qu'il pouvait etre utile de faire 

 connaitre sur ce point, quelques recherches purement analytiques, rela- 

 tives a des equations aux differences partielles d'un ordre quelconque. 

 Ce travail n'etant pas entierement termine, je me bornerai a en donner 

 un extrait. Voici l'enonce de la question dont je donne la solution com- 

 plete dans cette note : Etant donnee une equation aux differences par- 

 tielles, de I'ordre m par rapport a x, et du premier ordre par rapport a 

 t, et ayant pour dernier terme une fonction quelconque de t, les autres 

 coefficients tant constants, on propose de Fintegrer de maniere qu'en fai- 

 sant t = o dans la fonction , on obtienne une fonction donnee de x, et 

 qu'en y donnant kx,m valeurs particulieres, on obtienne des fonctions 

 donn^es de t. On admet que Ton sache resoudre cette question dans le 

 cas plus simple ou le dernier terme, fonction de t n'existe pas, et ou les 

 m fonctions arbitraires de t, correspondantes aux valeurs particulieres de 

 x, sont remplacees par zero. 



Soit liquation 



(i)..-. ^=A m ^ + A m _ l5 ,+ ... +A,^ + A.[ < ;-/(0], 



