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u, et w, ne differant de u et w que par les changements que nous venons 

 d'indiquer. 



On aura done, dans le second intervalle, entre t, et <, + <,, 



o = (9+e.) -f- (+,) H- (w+w,), 



pour satisfaire aux conditions relatives au troisieme intervalle, on ajoutera 

 a la valeur prdcedente une nouvelle inconnue z, , qui devra etre nulle pour 

 t t, t t z=zo, et se reduirea b,, b % . . . .b my pour les valeurs xx t . . . . x m ; 

 elle satisfera de plus a l'equation 



= A m 0+ +A (z,-U 



On determinera done z, comme z; on posera z, = 6,+ u a -t- w; il n'y 

 aura qu'a changer a en et t t x , en , .. 

 On aura ainsi, dans le troisieme intervalle, 



f=(8-f-8, + fl.) + (+. + ,) H- (w-f-w. + w.), 



et Ton continuera ainsi jusqu'au dernier. 



II ne reste plus qu'a passer de ces variations discontinues, aux varia- 

 tions continues, exprimees par des fonctions arbitraires de t. 



IV. 



Les quantites k,, ,.... w,, w p . . . . s'ajoutant entre elles dans la 

 valeur de v relative a un intervalle de rang quelconque, et ne differant 

 que par la valeur de t relative au commencement de l'intervalle , on 

 voit que si elles devenaient des expressions differenti elles, leur som- 

 mation se ferait par le moyen des quadratures, et la limite de l'integrale 

 e serait autre chose que la valeur meme de t, ou commence l'inter- 

 valle infiniment petit dans lequel on veut connaitre la valeur de v, e'est- 

 a-dire que Ton aurait la valeur g6ne>ale de v en fonction de t et de x. 



Or, si Ton suppose les intervalles t t , t M , etc. , infiniment petits, et 

 que Ton prenne pour valeurs de 8,, A,. . . . celles que prend successivement 

 la differentielle de la fonction donneey(z), par rapport a t; que de plus, 

 les accroissements que recoivent successivement les valeurs particulieres 

 de v relatives a x=x,, x = x t ,. ... ne soient autre chose que les dif- 

 ferentielles des fonctions donnees <p,(t),<p t (t) t etc.; les conditions aux- 

 quelles satisfera la valeur de v, calculee comme nous l'avons indique, et 

 relative a un intervalle infiniment petit quelconque , ou , en d'autres 



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