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termes, relative a une valeur de t quelconque, seront precisement celles 

 auxquelles doit satisfaire la fonction demandee v , tant pour 1'equation 

 generale (i), que pour toutes les conditions particulieres. On obtiendra 

 done ainsi la solution generale de la question. 



Pour former la valeur u K de u, qui se rapporte a un intervalle 



infiniraent petit dX, commencant a la valeur X de t, on substituera aux 

 quantites 6, f, , e , . . >v m , les suivantes 



f(x)dx, <p',(X)dX, <f>\{x)dx,.... <p' m (X)dX, 

 et l'on aura 



u K =(<p f ,Xf'X) {a t ei" x -\- b x e^ x -f-. . . ,)dx 



+ (<p' m X_/'A) {a^ x + b t e*" x -+-. . . .)dh + etc. 



On obtiendra w K en faisant les memes substitutions dans la formule (3) ; 

 et de plus, en changeant t en t A, et F(ar) en zero ; ce qui donnera 



** x -4 (*-* * * [- f' x OP'.* /'*) (."* + *> t e>* +....) 

 (*'.* /'A) (,e'" x + fc.e'"* ....) etc.] dX). 



Cette expression sera necessairement infiniment petite, et de la 

 forme Pd\. 



Maintenant, la valeur de v etant toujours 



quelque petits que soient les intervalles, il ne s'agit plus que de former 

 ces trois sommes , qui sont devenues des integrates prises par rapport a A 

 entre les limites A = o, A = *, auxquelles il faudra ajouter la premiere 

 expression 6-{--hw>; sa valeur s'obtiendra en remplacant dans les 



formules (a) et (3), les quantites 0, f,, v i>, 



par /(o), <p,(o), <p,(o) <p m {o). 



Or, on aura evidemment , 2 9 = f(t) , 



2= (<p t tft) {a l e ti ' x + b l e^' x +. . . .) -f- etc 



+ {<p m t-ft) {a m e^ x + b a e^ x +....), 



J o 



Done la valeur generale de v, qui satisfait a toutes les conditions de la 

 question , sera exprimee par la formule suivante , qui convient a toutes les 



