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(5) ^-A/(*) = opour* = x, 



(6) ty +H/(*) = o pour *=X : 



g, k, I sont trois fonctions positives de a: , et k, H deux constantes posi* 

 tives. Les equations (2), (3), (4) , laissent arbitraire la valeur de V qui re- 

 pond a x=x; raais pour qu'elles soient satisfaites, il faut que le parametre 

 r soit choisi parmi les racines r,, r,,.... d'une certaine equation transcen- 

 dante <&r(r) = o : ces racines sont toutes reelles et positives : nous les sup- 

 posons rangees par ordre de grandeur et nous representons par V,,V a ,.... 

 les valeurs de V correspondantes , en sorte que V soit ce que devient V 

 quand on y pose r=r. {V"oyez raon Journal de mathematiques, cahier de 

 juillet 1 836. ) 



La propriete la plus remarquable de la fonction V, consiste en ce que, 

 si Ton fait croitre x depuis x jusqu'a X, cette fonction V changera de 

 signe et s'evanouira ( 1 ) fois pour des valeurs de x inegales entre elles, 

 en sorte que l'equation V, = 0, ou Ton prend pour inconnue la variable 

 .r> x et <X, n'a jamais de racines egales et a precisement (n 1) racines 

 inegales entre elles. On prouve de plus que les (n 1) racines de l'equa- 

 tion V = o sont comprises entre les n racines de l'equation suivante 

 V, + , = o.'Ces beaux th^oremes ont et6 demontres par M. Sturm dans son 

 Memoire sur les Equations differentielles du second ordre. Mais en pour- 

 suivant l'analyse par laquelle j'etablis la convergence de la serie (1), je me 

 suis apergu qu'on pouvait en deduire les theoremes de M. Sturm, et cela 

 par un artifice qui n'est pas borne a l'etude des fonctions V et qui s'etend 

 sans difficulte a beaucoup d'autres fonctions determinees par des equa- 

 tions differentielles d'un ordre quelconque. En effet, lorsque l'indice n 

 est tres grand, on a a tres peu pres 



\/r.m$ 



t)tr v A cos (z\/r) 



1 ' I ' 



A est une constante arbitraire : z et Z representent respectivement les deux 

 integrales 



/xVf-^' /Vf- 4 *' 



et il n'y a, pour ainsi dire, qu'a jeter les yeux sur la valeur de V. pour 

 voir qu'elle satisfait aux theoremes de M. Sturm. Or, je prouve ensuite que 



