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RAPPORTS. 



analyse mathmatique. Rapport sur une Note de M. Liocviixe. relative 

 au calcul des perturbations des plantes. 



(Commissaires, MM. Mathieu, Damoiseau et Poisson.) 



Dans le calcul des perturbations des plantes qui proviennent de leurs 

 actions mutuelles , lorsque l'on nglige les carrs et les produits de leurs 

 masses , les formules connues de la variation des constantes arbitraires r- 

 duisent la question au dveloppement d'une certaine fonction en srie de 

 sinus et de cosinus des multiples des moyens mouvements de la plante 

 trouble et de la plante perturbatrice. L'un de nous a indiqu pour le 

 calcul numrique des coefficients de cette srie, une mthode particulire 

 que M. Hansen de Gotha a suivie dans sa pice sur les perturbations de 

 Jupiter et de Saturne , couronne par l'Acadmie de Berlin. Mais chacun 

 de ces coefficients tant exprim, dans cette mthode, par une intgrale 

 double , le calcul en est extrmement pnible , et M. Liouville est parvenu 

 le simplifier beaucoup en faisant connatre un moyen, qui avait chapp 

 jusqu'ici , de rduire une intgrale simple la valeur approche de l'in- 

 tgrale double. Ce moyen est fond sur les proprits des coefficients et 

 des arguments de la srie , qui sont exposes dans le livre II de la Mca- 

 nique cleste. L'auteur montre qu'on peut faire porter l'intgration sur une 

 partie seulement de l'argument de chaque terme, en ngligeant les termes 

 dont les arguments sont des multiples de celui-l; ce qui conduit une 

 approximation d'autant plus grande que la diffrence des multiples des 

 deux moyens mouvements est plus considrable dans l'argument du ternie 

 dont il s'agit. La mthode de M. Liouville, telle qu'il l'avait d'abord pr- 

 sente, n'aurait plus eu aucun avantage dans le cas o cette diffrence est 

 nuUe ; mais, dans un supplment sa premire Note , il fait voir comment 

 cette mthode peut tre tendue ce cas particulier. 



Nous pensons qu'elle sera principalement utile pour le calcul des 

 ingalits longues priodes; et, comme application, nous indiquons 

 l'auteur, ou aux astronomes qui voudront employer son procd , l'inga- 

 lit que M. Airy a signale dans le mouvement de la Terre, qui provient 

 de l'action de Vnus, dont l'argument est treize fois le moyen mouvement 

 de cette plante moins huit fois celui de la Terre, et dont la priode com- 

 prend environ 220 annes. 



