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genre d!intgr aies, .qui avec les moyens actuel* ue s'valuent. que par. des 

 calculs trs longs ou mme impraticables. Ce sont les intgrales contenues 

 dans la forme 



/ > (Rco3*<p4-Sgindip ^ 



J ^(i-rCsin'ip) (i Z'sin'?) (i m" sin"?)' 



o R et S sont des constantes arbitraires, tandis que c, /, /, reprsentent 

 des quantits donnes et plus petites que l'unit, et telles qu'on a 



c > l > m. 



Quant aux transformations de ces intgrales,, dont ma mthode d- 

 coule , elles pourraient fixer en elles-mmes Tintrt des gomtres , 

 comme une acquisition importante de l'analyse transcendante, et en 

 ouvrant une carrire tendue au gnie des savants. Ici je ne me propose 

 que-de donner un abrg de la mthode, pour trouver par une approxi- 

 mation prompte et facile, la valeur de l'intgrale dfinie 



/: 



(Rcos a p + Ssin' 



o \/{\ c sin il <p)(i / a sin a (p)(i m*sm*<p) 



Dans peu de temps je publierai un mmoire plus dtaill , qui com- 

 prend mes recherches sur la thorie de ces transformations des int- 

 grales ultra- elliptiques ou abliennes, du premier ordre dfinies et in- 

 dfinies. 



L'essentiel des transformations trouves par moi , consiste diminuer 

 successivement les trois modules c , l, m, jusqu' ce qu'on puisse d- 

 terminer immdiatement l'intgrale demande par un arc de cercle. 



Des transformations inverses en conduisant une autre chelle de 

 trois modules croissants , nous donneront bientt uwe limite semblable . 

 o l'on peut valuer l'intgrale par des logarithmes. 



Voil deux voies tout--fait opposes, par lesquelles on marche la 

 valeur de la mme intgrale. Les rsultats s'accordant l'un avec l'autre, 

 offrent une vrification trs belle de la thorie. 



C'est pour comparer ces deux rsultats, que j'ajouterai un exemple 

 numrique calcul d'aprs les deux mthodes. Mais pour diminuer autant 

 que possible le nombre des transformes, il conviendra de se servir 

 dans le calcul de la mthode des modules dcroissants , moins qu'ils 

 soient d'abord prs de l'unit. 



Les algorithmes suivants ne sont pas trop dissemblables ceux dont 

 on se sert pour dterminer par des transformations les intgrales ellip- 



