AD QUJESTIONEM MATREMATICAM. 89 



53. Hinc sequitur, solutiones alieuas ut x = a eljr = b derivaudas cssc ex 

 factoribus , quanlitatis y functionibus , qui communes aequalioni fmali R" = o 

 cum coefficientibus primorum terminorum insingulis divisoribus existunt. Quod 

 si enim islis coeflicientibus factores cum R'" = o communes non sint, valorum 

 quodpiam systema uta: = a ,y b acquationibus7i" = o et R"' = o salisfaciens , 

 nullum ex coeflicieutibus', qui primis divisorum terminis inhacrent, in zero 

 convertet , nee igilur ullam ex quanlilalibus 3/, yJf, M 1 ', M'" etc. quae istarum 

 coeflicicnlum potcntias exhibent: elenim si y = b daret M" = o verb. gr. , M" 

 per y b turn divisibilis , factorcm y b cum R'" involvefet communem , idqaod 

 supposilioni contrarium est. Cum autem nulla quantilalum M, M' ^ M' 1 ', Sf" elc. 

 aliquo ex Eequalionibus R'" = a et R" = o concluso systcmate in nihilum abeat, 

 omnibus hiscc systcmalibus faclum iri fl' = o, jR = o , B = o et A = o affir- 

 mare polerimus. Erunt igilur vera haecce valorum systemata , quippe quibus 

 acquationes proposilte in zero abeunt. 



Ex his omnibus eluccl , si nullus faclorum primi termini cujusvis dlvisoris 

 in ultimo conlineatur residue , hoc atque penultimum nihilo aequata omnia 

 praebere valorum systemata acquationibus A = o ct B = o satisfacientia , 

 nee falsa admitlerc. Prius igitur quam oequatio finalis resolvatur , factoribus 

 quos in se complccti communes cum cocflicienle primi termini cujusvis divisorum 

 possit, liberanda est, hisce enim solis alienee immiscentur solutiones. 



54. Quae res illustrari vult$ prius autem acquationem finalem quara'( 5i.) 

 invenimusveram csscobservo, primum enim hujus aequationis membrum per/, id 

 est , per factorem primi termini prioris divisoris dividi nequit. Sed ponantur duas 

 acquationes has: x* y 3x + i = o et x' (y i)-j-a: 2 = 

 inquiramusque in primorum membrorum respectu ipsius x maximum communem 

 divisorem. Ad hoc primum polynomium mulplicatum per (y i )' ut duoe 

 peculiares divisioncs possibiles evadant , divido per secundum et habebo : 



y(yi )'o: 3 -3(^- i) x + (y-i ) 

 y (y l ) x y(y l ja. 



_jO-iX-0' 4x4-3)0: + (y-0 3 



primum residuum (j ' 5/ -f cJ)* +^' 4y -\- i 



