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17 Si la divergence a lieu pour x——a, la sèrie 
ò ò b 
dd (dx f udx F dd u, de -- ete., sera convergente. 
a-da a--da ad-da 
2: Si la divergence arrive pour z—b, la série 
b—dAb b— db bb. 
A fada — f udr -- f u,dx - etc. , sera convergente. 
a a 
5" Si la divergence a lieu pour x-—a el xe—b, la série 
Gdò b—dAb b—db 
af: f()dr — f udx - f uda H- etc. , sera convergente. 
a-da a 4-da a--da 
I est bien entendu qu'il faudra ici comme dans tous les cas 
analogues, poser das 0, dbz0 , après les intégrations. ( Voir 
l'introduetion ). 
a 
Que THEORÈME. 
f(x) élant une fonction continue pour toutes les valeurs de X, 
depuis x—a jusquà amb, si l'ou suppose b—azsmh, je dis 
que la somme 
h El(a)-f(a 4. h) "- (a 4- 2h) ... "- fa m—ih)), (a) 
b 
s'approchera indéfiniment de l'expression ,/ f(x)dx, à mesure que 
le nombre m augmente. 
—a 
Dèmonstration. Comme on a hs— , l'on voit que A di- 
minue à mesure que m augmente , de plus, pour m infiniment 
b—a 
grand , l'expression deviendra une diflérentielle telle que da. 
Or, en mettant la somme (2) sous la forme 
lis Ef(a)--fa-- mi. ) HF fa H2 an MES 
a 
m 
Ei i JF aeerteltact at — h 
on aura , pour m infiniment grand : 
da lH(a) H- f(a 4- da) -- Ral 2da) TF ... H- Ò 
flad-m—i da) — cf (ade, 
i : b 4 PA : a 
d'oú il suit que / fíx)dx diflérera d'autant moins de la somme (a), 
d 
