328 CONGRES SCIENTIFIQUE DE FRANCE, 



et par suite, pour le rayon polaire p 



DE (DE 2BF) 



COS 2 p =3 . 



D 2 E 2 +- B 2 E 2 + B 2 D 2 

 Viennent enfin deux Equations de condition, qui sont : 



DE 2BF BD-2AE BE 2 CD 

 B E D 



et qu'on obtient en tirant des relations preceMentes 



A s B C s B F s DE 



D 2E E 2D B 2 B 2 



et en egalant entr'elles les valeurs de 2 s qu'elles donnent. 



23. Le lieu des sommets des triangles spMriques equivalents, et de 

 mime base 2 X, est une circonfe'rence de petit cercle. Cette circon/erence 

 passe par les points diame'tralement opposes aux extvemiUs de la 

 base. 



La l re partie de cette proposition est le fameux tb^oreme de Lexell, et 

 la 2 e est due a M. Steiner. Les nouvelles annates de math^matiques (1845) 

 reproduisent, de Tune et de l'autre, une demonstration fort Elegante de 

 M. Steiner. Notre mlthode analytique s'applique ains^ment a la meme 

 question. 



Nous avons, en pliant Porigine au milieu de la base, prenant celte base 

 pour ^quateur, d^signant par yj et \ les coordonnees du sommet d'un des 

 triangles, par w et w' les angles a la base, pour les Equations (no 15) des 

 rote's adjacents : 



ty\ = tu> (sinX cosXtfij). 2 



t y] = t <i>' (sin X +- cos X 1 |). 

 si nous designons par w" le 3 e angle du triangle, et par e l'exces spheVique, 

 nous aurons 



cd" 4- m' 4 -J- to 180= e; 

 Et comme le triangle donne, par la formule connue de Viete , 

 cos to" ~ cos to cos w' -h sin w sin w' cos 2X, 

 I'^limination de a>" entre ces deux relations donnera a son tour 



(cos 2 X cos e) t w t w' ;- sin e {t w -f- 1 w') = i cos e. 



Enfin, dans cette derniere Equation, il n'y aura plus qu'a faire enfrtfr Ira 

 valeurs de t u> et t to' tournies par les deux premieres Equations, pour 

 avoir liquation du lieu. On trouve ainsi ; 

 (cos 2 X cos e) t 2 y) + cos 2 X (1 cog e) t 2 % + 2 sin e sin X t % - (I 



cos e) sin 2 X = o. 



On reconnait d'abord que le lieu est un cercle, car les coefficients de 

 liquation qu'on vient d'obtenir satisfont aux conditions du no 22. En outre, 

 ce cercle passe par les points diame'tralement opposes aux extrmite\s de 

 la base; car son Equation est satisfaite pour yj =o, et \ = (180 ~:-X). 



