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avec les deux centres de similitude inverse de chacun d'eux compare* sue- 

 cessivement avec le troisieme. 



26. lo Si d'un point, prix sur la surface d'une sphere, on mene un 

 arc de grand cercle qui coupe un petit cercle de cette sphere, il en re- 

 sulte, apartir du point considere, deux segments sur Varc transversal : 

 le produit des tangentes trigonometriques des moities de ces deux seg- 

 ments est constant, quelle que soit la direction de la transversale. 

 2 Si d'un point, pris sur la circonference d'un grand cercle, on mene 

 deux tangentes a un petit cercle, ces deux arcs font avec le grand, 

 deux angles qui varient suivant la variation du point considere; mais 

 les tangentes trigonometriques des moities de ces angles for ment un 

 produit constant, quelle soit la position du point. 



La 2" partie de cette proposition est la consequence polaire dela premiere. 

 Pour demontrer la i re partie, nous ferons d'abord observer que si, par deux 

 points fixes A et B, pris sur la circonference d'un grand cercle, on fait passer 

 un petit cercle quelconque R. Si par deux autres points fixes C et D, places 

 sur la meme circonference, on fait passer un autre petit cercle S, les axes ra- 

 dicaux des cou pies de cercles R et S coupent tous la circonfe'rence de grand 

 cercle au meme point P. Les deux points C et D pourraient se confondre en 

 un seul : alors les cercles S seraient tangeursau grand cercle au meme point, et 

 la proprieHe du point P aurait encore lieu. Celapose, soit P le poiut donn, R 

 le cercle donne, P B A une secante quelconque coupant le cercle R en B et 

 en A. Je dis qu'on aura : tang - PA , tang | PB =* const. En effet, pro- 

 longeons la secante d'une quantity P K egale a la tangente P H menee du 

 point P au cercle R ; le point P sera l'intersection de Tare transversal par 

 l'axe radical detout cercle passant en B et en A, et de tout cercle qui tou- 

 cherait la transversale en K; e'est par consequent le point de rencontre de 

 cette transversale et de l'axe radical de deux cercles dont l'un aurait pour 

 diametre A B, et dont l'autre se reduirait au point K, Done (no 24) D etant 

 le milieu de A B, on a la relation 



cos DB 1 



cos UP ~^cosKP_ 

 Or, KP = HP , DP ~ { (pa -\- PB) , DB = \ BA = J ("PA PB); done 

 cos i (PA 4- PB) i tang J PA, tang \ PB 



cos PH = = = 



cos { ( P A PB) 1 4- tang f P A , tang { PB 

 d'oii 1 cosPH _ 



tang { PA. tang \ PB =, - tang 2 j PH = const. 



1 + cos PH 



C'est ce qu'il fallait demontrer. 



Cette demonstration suppose que le point par lequel on mene la secante 

 est exterieur au petit cercle ; mais il est facile de s'assurer que la propri&e 

 convient au cas du point interieur. Soient C le cercle donne , P un point 

 iuterieur u ce cercle, APB une secante mene'e par le point P et coupant 



