QUINZ1EME SESSION. 559 



L. lorQuand les trois c6t6s d'un triangle de forme variable tournent au- 

 tour de irois poles fixes, situes sur une circonf&ence de grand cercle, >et 

 que deux sommets du triangle parcourent deux arcs fixes, le 3* sommet 

 engeudre une 3 e circonfe>ence qui passe par le point de concours des deux 

 premieres. 



2o Quand les trois arcs concourent au meme point, et que deux c6tes 

 du triangle passent respectivement par deux centres fixes, le 3 e c6te" passe 

 lui-meme par un 3 e centre fixe, lequel est place" sur la circonfdrence de 

 grand cercle qui unit les deux premiers. 



31. Etant donnte I Equation g6n6rale de la conique sphdrique, on 

 propose de determiner le centre de cette courbe. 



Sort Pequation generate d'une conique spherique 



At 2 r\-hB t-n t^-hOP Zl-Dtri *hE t^VYo. 

 Si nous ddsignons par q" et t" les coordonn^es d'un point, nous trouverons 

 ais6"ment (n 5) que la polaire relative de ce point a pour Equation 

 (2 A *n"4-B t g"4-D) t-n-h (B ttf-fr 2 C *?'*) t% + D t tf'-i-E tl">h 2F=o. 

 Le pdle absolu du cercle de cette Equation est determine" (no 11) par les 

 relations 



2At*i"+Bt$ w +D Bty]" + 2 Ctr + E . 



DtYi"4-Ete"4-2F Dtvi"4-Etr4-2F 



Mais si le pole du cercle relativement a la conique est place au centre 

 meme de cette courbe, le pole absolu se confoud avec le pole relatif. Done 

 le centre de la coniqne est determine" par les Equations 



2Atrj + Bt54-D BtY]4-2CU + E 



tv, . , t ? = 



D tyi+Et ?4-2F ' Dtr]+EU + 2F 



Ces Equations se retrouvent dans la recherche des plans diam^traux prin- 

 cipaux des surfaces du second ordre. Si nous les traitons comme on le 

 fait dans cette recherche, nous aurons, en posant 

 s sD*y) {-**- 2F 

 (2A $)*y)4-B+.D=:o, (2 C s) *$*f-B*y) + E*=o, 

 (2F s) .+ D tfri-f-E t%= o. 

 Des deux premieres, on tire 



[(2A~5)(2C~s)-B 2 ]i-/i-I-(2C-s)D-BE=o, 



[(2 A s) (2 C s) B 2 ]^+ (2 A s)E B Do 



et les valeurs de t r\ et de t\ qu'elles donnent, etant substitutes dans la 



troisieme, conduisent a liquation connue du 3 e degre" 



(* - 2 A) (s-2 C) (-2F) -(.? - 2 A) E 2 - (s -2 C)D 2 -(s-2F)B 2 



-2BDE =o, 

 laquelle a ses trois racines reelles, comme l'a demontre" M. Cauchy. Ainsi 

 done, la determination du centre d'une conique donned par liquation ge- 

 nerate du X degre" entre t vi et $, depend de la resolution d'une Equation 



