QUINZ1EME SESSION. 341 



N, 2 N 2 2 N, N 2 



sin 2 (p, + dj) s 4 2 cos ( pj + p 2 ). 



Wt R 2 H 2 2 R 2 R,R 2 



C'est 1'equation du lieu : elle est du deuxieme degr ; done le lieu est 

 une conique sphgrique. On peut mettre liquation sous une forme plus 

 simple , en prenant pour axe desij le grand cercle qui passe par les deux 

 points fixes , et en meltant I'otigiue au milieu de la distance de ces deux 

 points. Si nous designons par 2 c cette distance, .I'equation deviendra 



2 (l-+* 2 c) ( 2 y] -f- * 2 5 + 1) sin 2 a cos 2 a + cos 2 a l 2 c V-\. 

 Enfin , si nous introduisons dans l'e'quation une quantite b plus petite que 

 a, lie a c et a a par la relation 



cos a cos 2 b - cos 2 a 



cos c so , d'ou tang 2 c ~ 



cos b cos 2 a 



il viendra , toutes reductions faites , 



t 2 al 2 ri-rPbtn z=t*aPb. 



C'est liquation connue de I'ellipse sphe>ique , rapportde a ses axes et a 



son centre. 



Ainsi done, il y a sur le grand axe de Pellipse spherique, de part et 



cos a 



d'autre du centre, a une distance c, marquee par cos c = , deux 



cos b 



points tels que la somme de leurs distances a un point quelconque de la 



courbe est constante et Cgale au grand axe. Ces deux points peuvent s'ap- 



peler foyers. 



En partant des trois equations 



N, N 2 



Pi P2 2 a , cos p , = , cos p 2 > 



RR 2 RR 2 



une analyse semblable a la prdcCdente conduirait pareillement a conclure 

 que dans l'hyperbole sphe'rique il y a un ou deux systemes de foyers, et 

 que les deux foyers de chaque systeme jouissent de cette propriete : que 

 la difference de leurs distances a un point quelconque de la courbe est 

 constante. Au reste, le calcul est inutile pour conduire a cette propriete. 

 Car considerons les deux foyers F et G d'une ellipse , et , dans I'ellipse sy- 

 metrique qui lui est opposed , les deux points correspondents F' et G'. Si 

 Ton fait passer un grant! cercle. parle foyer G et par un point quelconque M 

 de I'ellipse, ce cercle ira passer par le point G', et Ton aura G' M + M G as 

 180o. Mais 1'on a MGf M F =2a, done G'M MF *= 2 (90 a) 

 const. 



Cette belle propriety , qui permet de decrire I'ellipse sphe'rique , comme 

 I'ellipse plane , par un mouvement continu , au moyen d'un fil , est due a 

 Fuss , compatriote de Lexell. Fuss, cherchant le lieu des points de la 

 sphere dont la somme des distances a deux centres fixes est constante , 

 avait trouve" que ce lieu est l'intersection de la sphere par un cone du 

 second degre\ Les formules analytiques dont Fuss fait usage, dit M. Chasles 



