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dans son histoire de la geom&rie, le conduisent a ce r^sultat remarquable : 



savoir, que si la longueur du fil est egale a la demi-circonference de la 



sphere, la courbe decrite est toujours un grand cercle, quelle que soit la 



distance des deux foyers. Ce fait ressort de notre equation gdn&ale, qui, 



N, N 2 



dans lc cas particulier en question, devenant b = o , se rduit a une 



R t R 2 



equation du premier degre. II est d'ailleurs evident en soi. Car sur un 



diametre d'un grand cercle, conside'rons deux points quelconques F etG, 



place's a egale distance du p61e j je dis que M etant un point quelconque de 



la circonference du grand cercle, on a F M + M G = 180. En effet, soit F' 



le point de la sphere , diam&ralement oppose a F. On a videmment 



F M + M F' s= 180' Or <*videmment aussi MF'=MG; done F M-+ M G 



= 180o. 



Concevons une ellipse sphenque E, ses deux foyer3 F et G, et deux 

 arcs vecteurs p, et p 2 men&des foyers a un point quelconque de la courbe. 

 Si nous construisons la polaire d'une telle figure, les foyers F et G serout 

 remplace's par deux circonferences de grand rercle F' et G' perpendicu- 

 laires au grand arc 2 a de l'ellipse ; l'ellipse E par sa polaire E' ( no 29 ) ; 

 le point M par Tare de grand cercle M', tangent a l'ellipse E\ Les trois 

 arcs de grands cercles M' , G', F' formeront , en se coupant , le triangle 

 polaire du triangle F M G. Mais, dans le triangle FMG , le perimetre est 

 constant , quelle que soit la position du point M j done , dans le triangle 

 polaire, la sorame des angles, et, par consequent, la surface est elle-meme 

 constaute, quelle que soit la position de la tangente a l'ellipse E\ 



M. Chasles , dans son memoire sur les proprietes generates des coniques 

 spheriques ( 1831 ), appelle arcs cycliques de l'ellipse E', les deux arcs 

 F' et G'. 



On voit par ce qui precede que les arcs cycliques de l'ellipse E' sontper- 



pendiculaires a sou petit axe 2 a\ qu'ils coupent cet axe , de part et d'au- 



sin a' 



tre du centre , a une distance d' de ce centre marquee par sin d' = 



sin b' 



En effet, la distance d du centre de l'ellipse E a son foyer F est marquee 



cos a 

 par cos d == . Or (no 29) on a, a = 90 -b- a\ b = 90 +- b\ d =. 



cos b sin a' 



90 4- d'i done sind' = . 



sin b' 



Dans le cas du cercle, on a, sin d'= 1, et les arcs cycliques se confondent 

 en une seule circonference de grand cercle , ayant merne pole que le cercle 

 conside>e\ 



La propria des arcs cycliques , conside>de dans un ordre inverse peut 

 s'e"noncer ainsi : L'enveloppe des bases des triangles qui ont meme sur- 

 face et un angle commun est une ellipse sphenque. Le theoreme a etc 



