QUINZIEME SESSION. 345 



v)' et V etant les coordonnees courantes. Car liquation de sa projection 



conique serait (no 5) 



f(y,#)=o, 



et celle de la tangente de cette projection 



dy 



f y= (a? x) . 



d x 



Dans le cas oil la ligne sphe'rique ne serait pas alge'brique, liquation de 



la tangente serait 



i 4- t 2 vj d y) 

 tn'-tYi== . (tr-ti). 



l+.t 2 e d$ 



dv] 

 Dans ce dernier cas, le rapport se tirerait de liquation de la courbe 

 d$ 

 diffe'rentiee relativement a r, et a S, tandis que, dans le premier cas, il suf- 

 firait de diffe"rentier relativement a v) et a t%. 



36. Etant donnte une ligne sphe'rique quelconque, on propose de 

 trouver liquation de sapolaire. 

 Soit d'abord l'equation d'une ligne alge'brique, 



f(*n,*$)^o. 

 Nous avons vu (no 35) que sa tangente au point (?) d) a pour equation 

 d t y] 



tv~tn=: (tr-U)5 



dU 

 par consequent (no il) le pdle de cette tangente pr&ente enlre ses coor- 

 donnees t\ x ij, les relations suivantes : 



d U dtn 



t vj, = , t \ x = . 



t Sdtvi t v] d U t^dtvi tvjdtl 



La question est ramene'e a 1'eiimination de vj et de $ entre ces deux re- 

 lations et liquation de la courbe. 



Or cette elimination pent se fdire en conservant a liquation de la courbe 

 toute sa generalite. A cet effet, nous remarquerons que deux points corres- 

 pondants (vj %) et (t\ x % x ) dans la courbe et dans sa polaire, sont lie's par la 

 relation symetrique 



tr\ iufiitit + i =.0, 



et que, par consequent, toute relation entre ces quatre quantites entratne, 

 entre les memos quantites, une seconde relation qu'ou obtient de la pre* 

 miere, par le changement reciproque de vj en yj, et de \ en , done on a 



dt*, -dtvu 



t vj * , t \ m . 



t \ x d t vu t vj, d t \ x t \ x d 1 1), t vj d 1 5 



Par consequent la courbe de liquation donnee aura pour polaire 



dU, dtvi, 



f / \ m o 



\ t^dtvi, tvj,dt?, U, dtvi, tvj, dt$, ) 

 Si la courbe n'etait pas algebrique, et que son equation fut de la forme 

 <p (**,!) =o, 



