QUINZIEME SESSION. 575 



sous le signe d'integration definie deraeure [constamment positive et finie 

 depuis la limite inferieure zro jusqu'k la liraite superieure, qui est ici la 

 demi-circonfe>ence , tandis qu'entre les memes limites les derives de 

 divers ordres ne deviennent pas infinies ; le premier terme de chacune de 

 ces formules exprime la somrae d'une suite de trapezes dont un des cote's 

 non paralleles est la ligne, qu'on obtient apres avoir divis en n parties 

 egales la base de la portion de courbe qu'il s'agit de quarrer, et on voit 

 ordinairement avec facility quelle doit etre a peu pres la valeur de n qu'il 

 faut adopter pour que le second ou le troisieme terme appartienne a l'ordre 

 d'unite" qu'on veut negliger. Mais, pour les fonctions que j'avais besoin de 

 consid&er, toutes les de>ives d'ordre impair s'e>anouissent aux limites 

 de Tintegration ; de chaque formule , il ne reste que le premier terme et 

 Ton se trouve dans un cas d'exception qu'a soigneusement examine' Legen- 

 dre (1), il est impossible de calculer a priori le nombre entiej: n : afin de 

 connaitre le degre* d'approximation que donnera chaque hypothese sur la 

 valeur de n, je me suis vu oblige de calculer 1'une et l'autre des quantity 

 nommdes M et N par l'illustre Gdometre. J'ai commence" a m'occuper de la 

 revolution de la Cometed'Encke qui embrasse l'intervalle de temps compris 

 de 1829 a 1832. 



En appelant y la fonction variable dont depend Tintegrale A, z, celle qui 

 se rapporte a Tintegrale B , je trouve que lorsque l'anomalie excentrique u 

 est nulle,les logarithmes de y et z sont respectivement 11,1276808 et 

 10,3167975 ; lorsque Tangle u a 90 degres, les m6mes logarithmes sont tous 

 deux egaux a 1,636739 ; enfin si Tangle u devient de 180 degrees, ces deux 

 logarithmes ont pour valeurs respectives 0,3484225 et 0,6145207. 



Occupons-nous uniquement de Tintegrale A ; il sera facile d'appliquer a 

 Tintegrale B les observations que je vais exposer. 



En examinant les valeurs de Tordonneyrapporteesci-dessus,onrecon- 

 nait sans peine que Taire de la courbe a quarrer contiendra onze chiffres 

 avant la virgule d^cimale or, comme les calculs astronomiques les plus 

 precis se font ordinairement avec des tables a sept ddcimales, on ne peut, 

 en toute rigueur, obtenir que six ou sept chiffres; d'un autre c6te , quand u 

 est de 90 degrees, la valeur de y a deux cbiffres seulement a la partie en- 

 liere. Done la somme des trapezes qui commencent lorsque u vaut 90 

 degree, etse terminent a la deuxieme extremity de la base, lorsque u 

 atteint 180 degrees, doit etre n^gligtSe, et les calculs se trouvent alors 

 beaucoup plus simples. Au reste je ddmontre par Tanalyse que Tintegrale 

 dont y est la fonction sous le signe de sommation, et qui a pour limite ze>o 

 et la demi circonference , est gale a la somme de deux autres , qui ont 

 pour limites communes z6ro et le quart de circonference; que de plus la 



(1) Appendice dfyi cit3, meme eeclion, paragraphe 



