4 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



Euler, bien que ces points soient surtout remarquables dans les ques- 

 tions physiques , chercha les foyers des courbes du second ordre par une 

 condition analytique. Ce sont, d'apres sa definition, les points du plan de 

 la conique, dont la distance a un point quelconque de la courbe est une 

 fonction rationnelle des coordonnees de ce dernier. 



En 1 820, mon pere, partant de la propriete de 1'ellipse que la somnie des 

 rayons vecteurs tires des foyers a un meme point quelconque de la courbe 

 est une constante, fit voir que le sommet de tout cone de revolution mene 

 par une conique est un foyer de celle-ci; il demontra, le premier, que le 

 lieu de ces foyers est une autre section conique. M. Chasles reconnut aussi 

 un Iroisieme foyer aux ovales. Or, la definition d'Euler s' applique a tous 

 ces points. II devenait des lors interessant de rechercher directement les 

 foyers, en partant de cette condition. Cette etude nous a conduit a quel- 

 ques resultats que nous croyons nouveaux; mais le but principal de cet 

 ecrit est de determiner les foyers par un procede simple et general. 



Nous nous sommes done propose de rechercher les courbes ou les sur- 

 faces douees de points tels, que leur distance a un point quelconque de 

 la courbe ou de la surface, soil une fonction rationnelle des coordonnees 

 de ce point. 



Mais avant tout, pour que cette definition ait quelque valeur, il faut 

 demontrer que les points ainsi definis sont independanls de la position 

 des axes. Rien n'est plus simple; car pour passer d'un systeme d'axes 

 a un autre , on a des relations lineaires entre les coordonnees anciennes 

 et nouvelles; ainsi les premieres s'expriment sans aucun radical au moyen 

 des autres. Si done le rayon vecteur etait fonction rationnelle des anciennes 

 coordonnees, il devra 1'etre encore pour les nouvelles. 



11 en resulte que pour determiner les foyers d'une surface, on pent 

 indifleremment prendre trois axes quelconques. Pour plus de simplicite, 

 nous les snpposerons rectangulaires dans tout ce qui va suivre. 



