MEM01RE SUR LES FOYERS. 



Examinons d'abord les foyers de premier genre, p = F est 1'expression 

 du rayon vecteur, les x, y, z contenus dans F e"tant les coordonnees de la 

 surface ;i foyer. Si nous posons F = o, en laissant x, y, z arbitraires, nous 

 aurons une surface qui sera la directrice relative au foyer , dont les coor- 

 donnees sont x', y', z 1 , et la propriete de cette directrice consiste en ce que : 

 Si, d'un point quelconque de la surface, on mene a la directrice une iransversale 

 parallele a un axe arbitraire mais invariable, le produit des segments intercepts 

 par la directrice, a parlir du point de la surface, est dans un rapport constant avec 

 le rayon vecleur mene de ce point au foyer. 



Prenons I'axe invariable pour axe des x; et soil alors, dans F, Ax" le 

 terme ayant le plus haul exposant de cette variable. En transportant 1'ori- 

 gine des coordonnees au point x, y, z de la surface proposee, le plus haul 

 exposant de x dans 1'equation de la directrice demeure Ax", et le terme 

 constant devient (F) ou les variables sont remplacees par les coordonnees 

 du point de la proposee. Le produit des segments interceptes par la direc- 

 trice sur le nouvel axe des a; a partir de 1'origine est done : p = ^- Or (F) 

 est precisement le rayon vecteur tire du foyer au point de la surface pro- 

 posee ; done p = Le theoreme se trouve ainsi demontre. 



La directrice correspondante a un foyer de premier genre est de 1'ordre 

 moitie de celui de la surface. 



Pour les foyers de second genre, il y a generalement deux directrices, et 

 leur propriete s'enonce : Si d'un point quelconque de la surface, on mene a la 

 premiere directrice une Iransversale suivant une direction arbitraire mais inva- 

 riable, et qu'on fasse la meme chose pour la seconde (les deux alignements pouvant 

 d'ailleurs differcr), le produit des segments interceptes par la premiere directrice est 

 au produit des segments interceptes par la seconde, comme le rayon vecteur mene 

 de ce point au foyer est a une constante. 



Pour le demontrer aisement , supposons d'abord que les deux directions 

 coincident. F = o, f= o etant les deux directrices, et Ax"et Bx p presentant 

 les plus hauls exposants de x, portons 1'origine en un point de la surface pro- 

 posee. Comme les x sont supposes pris sur une parallele a la direction des 

 transversales, le nouvel axe sera une de celles-ci, etl'origine des coordonnees 

 sera en m4me temps 1'origine des segments. Le produit des segments inter- 



/p \ 



ceptes par la premiere directrice est -^ = P , le produit des segments de 



