8 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



la seconde est - = p. Dans (F) et (/") les coordonnees courantes des direc- 

 trices sont remplacees par les coordonnees du point de la surface proposee. 

 Mais on sait que p =77? done P = p. p.--Le theoreme est done de- 

 montre quand les deux directions coincident. 



Le cas ou elles ne coincident pas se ramene au precedent par le theo- 

 reme connu : Si par un point on mene a une surface deux transversales 

 paralleles a deux axes fixes, le produit des segments intercepted par la 

 surface sur 1'une a partir du point, est au produit des segments interceptes 

 sur la seconde, dans un rapport constant, quel que soil ce point. 



Ge qui precede doit etre modifie, quand le plus haut exposant de x 

 pour la direction choisie a un coefficient fonction des autres variables. II 

 faut alors construire le cylindre represente par ce coefficient et lui mener 

 par le point de la surface proposee une transversale parallele a une troi- 

 sieme direction fixe, puis faire le produit des segments de la transversale 

 interceptes par le cylindre a partir de ce point. 



En supposant que le cylindre se rapporte a la premiere directrice, on 

 dira que le produit des segments interceptes par la premiere directrice, 

 multiplie par le produit des segments interceptes par le cylindre corres- 

 pondant est dans un rapport constant avec le produit des segments inter- 

 ceptes par la deuxieme directrice , multiplie par le rayon vecteur. Tous 

 les segments et le rayon vecteur tire du foyer sont comptes a partir du 

 meme point quelconque de la surface proposee, et pour chaque directrice 

 ou cylindre suivant une direction arbitraire, mais constante. Car alors, 

 dans la derniere formule A n'est plus constant, mais represente une con- 

 stante D multiplied par le produit p' des segments relatifs au cylindre, et la 



Pt)' R 



relation est = K - 



pp D 



Pour plus de clarte , prenons un exemple dans le plan. Soit : 



(xy m 2 ) 4 = x 2 -4- j/ 2 



une courbe du quatrieme ordre, dont 1'origine des coordonnees est un 

 foyer de premier genre et qui a pour directrice 1'hyperbole equilatere 

 xy = m 2 . Prenons pour direction des transversales 1'axe des x; nous aurons 



