iO MEMOIRE SUE LES FOYERS. 



V. 



FOYERS DE LA DUOITE ET DU CERCLE. 



Tons les points (tune droite sont des foyers decelle-ci, et elle n'en a point d'autres. 

 Prenons cette droite pour axe des x, ses equations sont : y = o, 2 = o, 

 et la droite doit etre situee sur la surface 



Ainsi 1'hypothese j/ = o, z = o doit reduire cette equation a une identite, 

 quel que soil x. Alors elle devient : 



<t* = ;> 2 [(X X'f -4- J/' 2 -4- Z' 2 ]. 



Or, dans $ 2 et y 2 tous les facteurs en x sont doubles; il doit done en etre 

 de meme pour (x a?') 2 -\-y'* + z '% c e qui exige que y'*-\-z'* soit nul 

 ou que y' = o, z' = o. 



La proposition est ainsi demontre'e. On en deduit immediatement que le 

 plan n'a aucun foyer et que toute surface, qui admet des generatrices rec- 

 tilignes , ne peut avoir de foyer que si toutes ces droites passent par un 

 meme point. Ainsi, parmi les surfaces du second ordre, 1'hyperboloide a 

 une nappe et le paraboloide hyperbolique n'ont aucun foyer, et le c6ne ne 

 peut avoir pour foyer que son sommet. 



Le cercle a pour foyers tous les points de la droite menee par son centre perpen- 

 diculairement a son plan et nen a aucun aulre. La sphere a pour foyer unique son 

 centre. 



En choisissant convenablement les axes coordonnes, on peut e'crire les 

 equations du cercle zo, a? -f- ?/ 2 ==R 2 . Si le point x', y', z', est un foyer, 

 tous les points du cercle doivent satisfaire a 1'equation : 



Faisant 2 = 0, il faut done que la condition a? -{- j/ 2 =R" rende identique 



** = , t ( X - *)* + (y - y'T- H- z'*\ 



