12 MEM01RE SUR LES FOYERS. 



Comme 2 est nul pour tons les points de la courbe, on peut le suppri- 

 mer dans la recherche du foyer. Les equations precedentes doivent etre 

 identiques et par consequent tous leurs termes proportionnels. Cela donne 

 six relations : 



A 2 \ = q, 

 B 2 -- 1 = a, 



2AB = o, 

 2AI) -t- 2o:' = ap, 

 2BD -f- 2y' = o, 

 D2 x "* y'*- z"* = o. 



La troisieme donne soit A = o ou B = o. 



Supposons B = o. Alors = 1 , A = 1 q. Or, q est negatif , nul, 

 ou positif plus petit que I'unite, done A est reel. II reste 



y' = o, 2AD + 2*' = p, D 2 a>' z' 2 = o. 



Nous avons done deux equations entre x ] ', 2', D. Ainsi la question est 

 indeterminee et les foyers forment un lieu. Ce lieu est plan, puisque y' =o 

 et son equation est : 



(2ar' p)a = 4 (1 g) (a;'* -*- ^' 2 ), 

 ou encore : 



Les plans directeurs sont compris dans 1'e'quation A# + Cz + D = 

 ouA= I/ 1 </,D= V/ a;' 2 -f- 2' 2 , et ou G est entierement arbitraire. 

 Ainsi tous les plans directeurs relatifs a un meme foyer coupent le plan 

 de la courbe selon une meme droite parallele au second axe, qui est la 

 droite directrice relative a ce foyer. Quand on passe d'un foyer a un 

 autre, cette droite directrice varie en demeurant toujours parallele au 

 second axe. Sa distance a 1'origine est 5 ou D seul varie avec le foyer. 

 Mais D = I/ a?' 2 -j- s' 2 represente la distance a 1'origine du foyer lui- 

 meme, et comme notre origine est le sommet de la courbe, on peut 

 enoncer la proposition : 



Les distances au sommet de la courbe d'un de ses foyers et de la droite direc- 



