MEMOIRE SUR LES FOYERS. 13 



trice correspondante sont dans un rapport constant , celui de I'excentricite au demi- 

 grand axe. 



Or, il resulte de la definition m6me des directrices que, pour un foyer 

 determine et pour sa droite directrice, la distance d'un point quelconque de 

 la section conique au foyer et a la droite directrice correspondante sont dans un 

 rapport constant. 



Rapprochant ces deux propositions , on en deduit le theoreme suivant : 



Les distances d'un point arbitrairc de la section conique a Cun quelconque de 

 ses foyers el a la droite directrice correspondante , sont dans un rapport constant , 

 celui de I'excentricite au demi-grand axe. 



Soil une conique. Prenons deux points de sa focale et les deux droites 

 directrices correspondantes. Quel que soil le point de la conique, la 

 somme ou la difference de ses distances aux deux droites directrices, et 

 par consequent aux deux foyers, est une constante. Pour un autre point 

 de la conique, la somme ou la difference des deux distances sera done 

 la m6me que pour le premier point. On pourra done enoncer la propo- 

 sition sous la forme suivante : 



Si I'on joint deux points quelconques d'une conique a deux points egalement 

 arbitraires de sa focale , il exislera enlre les quatre droites de jonction une rela- 

 tion lineaire telle que la somme de deux de ces droites est egale a la somme des 

 deux autres. 



Cette seule proposition ainsi enoncee suffit aussi a montrer la recipro- 

 cite des deux coniques comme lieux des foyers. 



Examinons maintenant le second cas, celui ou A = 0. Alors : 



_ jp_ 

 4^* 



Dans ce cas encore, le lieu des foyers est plan 2#'=-, et 1'equa- 

 tion du lieu est : z' z -f- y-i- i/' 2 -f- J^-= o. Or, comme 1 --q est toujours 

 positif, cette courbe est imaginaire. Mais ce qu'il y a de remarquable 

 dans ce cas, c'est qu'a des foyers imaginaires peuvent correspondre des 

 plans directeurs reels. 



Dans 1'ellipse, par exemple, q est positif, plus petit que 1'unite; ainsi 



