14 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



B est imaginaire. II faut done que D soit aussi imaginaire de la forme 

 D' \/ 1, pour que le plan directeur soit reel. Remplaeant alors C, 

 qui est arbitraire, par C' V 1 , le plan directeur devient reel, 

 E'y + C'z -f- D' = , 1'imaginaire passant dans le rapport. II suffit pour 

 cela que la coordonnee y' du foyer soit reelle; et alors, de meme que, 

 dans le premier cas, le rapport etait A = V/l--</ = ^, il est ici B == 



Dans 1'hyperbole, q est negatif, done B est reel ; D doit done etre reel et 

 par suite aussi y'. Ainsi, quoique les foyers soient vraiment imaginaires, 

 1'equation de la courbe, ecrite en mettant en evidence les foyers et les 

 directrices, ne contient aucune imaginaire; ceci tient a cette propriete, 

 qui parait paradoxale au premier abord, que la distance d'un point reel 

 a un point imaginaire peut etre reelle. 



Pour en donner 1'exemple le plus simple, soit un points = a situe sur 

 1'axe des x, et un point situe sur 1'axe des z, pour lequel x = o, y = o, 

 2 = b V 1. En prenant la distance de ces deux points, on a : V a 2 6 2 . 

 La sphere decrite du premier d'entre eux comme centre avec ce rayon ne 

 coupe pas 1'axe des 2. Mais il faut prendre 1'intersection de cet axe avec 

 1'hyperboloide imaginaire, qui est le complement de la sphere. 



Le plan directeur, dans le cas que nous examinons, etant reel, quoique 

 le foyer soit imaginaire, on peut cependant donner un enonce reel a la 

 propriete geometrique represented par 1'equation aux foyers. Par exemple, 

 dans le cas de 1'hyperbole ci-dessus, on a q = - -- s , p = ^-, et 1'equation 

 de 1'hyperbole s'ecrit : 



a 2 ;/'" 



* 



Le premier membre donne le plan directeur ou la droite direclrice; le 

 second donne un cercle. 



L'hyperbole etant connue, prenons y' a volonte et construisons le cercle 

 donne par le second membre; le centre est situe sur le second axe de 

 1'hyperbole et eloigne du centre de la courbe de la quantite y 1 ; son rayon 

 est fonction de y'. Construisons la droite directrice correspondante, qui est 



