MEMOIRE SUR LES FOYERS. 31 



Substituant ces valeurs dans la seconde equation, on trouve : 

 4L* ** -4- 4Lz (Car -t- C'y) (Cy C'xj* = o. 



C'est done un c6ne du second ordre, concentique au premier, dont la 

 base est parabolique et qui est tangent au plan 3=0 suivant la droite Cy 

 = C'x. 



L'e'quation du c6ne se simpliHe, quand on prend la droite de contact 

 pour axe des x. Alors C' = o, et 1'enveloppe est : 



o = 4Lz -- 4CLxz CV- 



II y a deux cas particuliers interessants, que nous examinerons successi- 

 ment. Le premier a lieu quand C = o, C' ==o; le second quand c = o. 

 Soil doncC=o, C'=o. On a pour somme des 2 inverses des points situes 



C" 



sur une generatrice Q = - , et la droite est quelconque , assujettie 

 seulement a passer par 1'origine. Quant a la surface du second ordre, dans 

 ce cas elle est coupee par le plan 3 = suivant une courbe qui a son centre 

 a 1'origine. On pent done enoncer le theoreme suivant : 



Si par le centre d'une section plane d'une surface de second ordre, on mene une 

 droite quelconque , la somme des distances inverses a ce plan des deux points ou la 

 transversale coupe la surface est une constanle. 



Cette propriete est generale et s'applique a toutes les surfaces sous 

 1'dnonce suivant : 



Quand F equation d'une surface est telle que les deux termes du premier degre 

 en \ et en y manquenl , si par 1'origine on mene une transversale quelconque , la 

 somme des distances inverses, au plan xy , des points ou la transversale coupe la swr- 

 face est une conslante. 



Rien n'est plus simple que de la demontrer directement. Get e'nonce 

 peut prendre une autre forme : 



Si par un point on tire une infinite de tramversales a une surface quelconque , 

 on pourra toujours mener par ce point un plan lei que la somme des distances 

 inverses a ce plan des points ou une quelconque des transversales rencontre la sur- 

 face soil une conslante. 



