52 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



La demonstration de cette propriete demande quelques lignes d' analyse. 

 Kappelons d'abord une formule d'Euler pour passer d'un systeme d'axes 

 rectangles a un autre systeme d'axes rectangles. 



L'origine reste la meme, le nouvel axe des x' est dans le plan xy faisant 

 Tangle y avec Taxe des x, les deux plans des xy comprennent Tangle 0. 

 Les formules en question sont alors : 



x = x' cos a y' sin o cos 9 -4- z' sin y sin C, 

 y = x sin <f -4- y' cos y cos 6 -t- z' cos p sin 6 , 

 z y' sin 6 -t- z' cos S. 



Cela pose, pour prouver la proposition , il faut , sans changer d'origine, 

 trouver trois nouveaux axes rectangles en ce point, tels que Tequalion de la 

 surface ne contienne plus les termes de premier degre en x et en y. Or, par 

 les formules ci-dessus, qui permettent de passer a un nouveau plan des xy 

 quelconque, tous les termes conservent le meme degre. II suffira done de 

 voir ce que deviennent les termes du premier degre. Representons-les par : 



hx -t- By -t- Cz, 



el dans Tequation transformed, prenons seulement les termes en x et en y, 

 que nous egalerons a zero ; il vient : 



o = A cos s +- B sin y , 



o A sin <f cos 9 -+- B cos f cos 6 -t- C sin 6; 



d'ou Ton tire : 



A A sin f B cos p 



~ B' C 



L'angle y etant determine par sa tangente est toujours reel; il en est de 

 meme de 8. Ainsi, le theoreme se trouve demontre, et Ton voit meme 

 qu'un seul plan repond a la question. 



Ce plan, en nouvelles coordonnees, est 2' = o. Pour avoir son equa- 

 tion en fonction des anciennes coordonnees , remarquons que nous avons 



