36 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



X. 



DBS FOYERS DE PREMIER GENRE DANS LES COURBES PLANES DU QUATRIEME ORDRE. 



Toute courbe plane du quatrieme ordre douce d'un foyer de premier 

 genre a directrice de second ordre peut, au moyen d'un choix convena- 

 ble de coordonnees, s'ecrire ainsi qu'il suit : 



(Ax* -t- A'/ 2 -t- C'y -t- D) 2 = (x x')* -t- (/ y') 2 -+- z" 1 . 



Les axes coordonnes sont alors paralleles aux axes de la directrice , et 

 meme 1'axe des y coincide entierement avec 1'un d'eux. On sail que, dans les 

 courbes depourvues de centre, on ne peut faire disparaitre C'y, mais comme 

 y' de sa nature est une quantite finie , on peut, en changeant 1'axe des 

 x en un axe parallele, arriver enfin a la forme : 



(Ax* -t- Ay -t- C'y -f- D) 2 = (x - x'Y- -f- j/ 2 -v z'*, (1) 



et cette equation en coordonnees rectangulaires comprend encore toutes 

 les courbes du quatrieme ordre a foyer de premier genre dont la directrice 

 est de second ordre. 



Dans quel cas cette courbe possede-t-elle un second foyer de meme 

 espece? II faut pour cela que Ton puisse identifier i'equation (1) avec : 



(ax 2 -t- ay* -t- bxy -4- ex H- c'y -4- rf) 2 = (x x,) 2 -*-(/ /i) 2 + fi (2) 



Mais la premiere lie contient aucun des termes ofy, xy z , a; 3 , xy 2 . On a done : 



ab o, a'b = o, ac o, a'c = o; 



et comme a, a' ne peuvent etre nuls simultanement, ce qui entrainerait 

 A=o, A'==o, et alors I'equation (1) descend au second degre, il faut que 

 1'ou ait : 



