6 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



de deux moyennes proportionnelles entre le cote" du cube donne et le 

 double de ce cot ; ce qui probablement a doun6 lieu au probleme ge"- 

 ne>al des deux moyennes proportionnelles. 



Celui-ci a 6t r^solu de diff^rentes manieres qui toutes font honneur 

 aux g^ometres de 1'antiquite". La premiere solution est due a Platon, 

 qui employa un instrument compost d'une e"querre sur 1'un des cots 

 de laquelle glisse une droite qui lui est perpendiculaire , et reste con- 

 se"quemment parallele au second cote; premier exemple sans doute, 

 d'une solution mecanique d'un probleme de G^omeHrie. 



Menechme , disciple de Platon, se servit des lieux gdomdtriques , 

 qui furent deux paraboles, ayant meme sornmet et leurs axes rectangu- 

 laires ; ou bien une parabole et une hyperbole entre ses asymptotes. 



Eudoxe , autre disciple et ami de Platon , se servait de certaines 

 courbes qu'il avail invented pour cet objet ; malheureusement sa solu- 

 tion ne nous est point parvenue ; et nous ne savons quelles e"taient ses 

 courbes. 



La solution d'Architas , c^lebre pythagoricien dont Platon avait suivi 

 les lecons en Italic, etait purement speculative ; mais elle a cela de 

 rernarquable qu'elle faisait usage d'une courbe a double courbure , 

 qui parait etre la premiere qui ait et conside"r6e par les g^ometres ; du 

 moins elle est la plus ancienne de celles qui nous sont parvenues *. 



Les quatre solutions du probleme des deux moyennes proportion- 

 nelles que nous venons de citer sont, comme onvoit, essentiellement 

 difle>entes. Ce probleme continua pendant un grand nombre de siecles 

 d'occuper les g^ometres, qui en multiplierent les solutions. Eutocius, 



1 Voici la description de cette courbe : Que , sur le diametre de la base d'un cylindre 

 droit circulaire , on concoive un demi-cercle dont le plan soil perpendiculaire a celui de la 

 I" base du cylindre ; que le diametre tourne autour d'une de ses extremitcs et emporte, dans 

 it ce mouvement circulaire, le demi-cercle, toujours situe dans un plan perpendiculaire a 

 n celui de la base du cylindre ; ce demi-cercle rencontrera dans chacune de ses positions la 

 11 surface cylindrique en un point; la suite de tous ces points formera la courbe a double 

 courbure en question. 



Pour resoudre le probleme des deux moyennes proportionnelles , Arcliitas coupait cette 

 courbe par un cone de revolution autour de 1'arete du cylindre, menee par 1'extre'mite fixe du 

 diametre du demi-cercle mobile ; le point d'intersection donnait la solution cherche'e. 



