HISTOIRE DE LA GEOMETR1E. 31 



Second moyen, proposition 29. Qu'une spirale d'Archimede soil 

 prise pour la base d'un cylindre droit; que 1'on congoive un cone de 

 revolution ay ant pour axe 1'arete du cylindre men^e par 1'origine de 

 la spirale; ce cone coupera la surface cylindrique suivant une courbe 

 a double courbure ' ; 



Les perpendiculaires abaiss^es des diflferens points de cette courbe 

 sur 1'arete en question du cylindre, formeront la surface heiico'ide 

 rampante (que Pappus appelle en cet endroit surface plectoide); 



Un plan mene par une arete de cette surface, et con venab lenient 

 inclin^, la coupera suivant une courbe dont la projection orthogonale 

 sur le plan de la spirale sera la quadratrice demaiidee. 



Ces deux constructions consistent, 1'une et 1'autre, a couper la 

 surface heiico'ide rampante par un plan mene par une arete, et a 

 projeter la section sur un plan perpendiculaire a 1'axe de la vis. 



Dans la premiere solution, on determine la surface de la vis au 

 moyen d'une heiice, par.laquelle on fait passer les generatrices de 

 cette surface ; et dans la seconde construction on determine ces gene- 

 trices par le moyen d'une courbe a double courbure qui est 1 inter- 

 section d'un cylindre droit qui a pour base une spirale, par un cone 

 de revolution qui a pour axe 1'arete du cylindre menee par I'origine de 

 la spirale. 



27. Nous remarquerons que ces deux constructions reposent sur 

 les deux proprietes suiv antes de la surface heiicoi'de rampante, que 

 Pappus n'enonce pas expressement, mais qui se trouvent demontrees 

 dans ses deux propositions 28 et 29 : 



1 Cette courbe est I'/ir/iVr contrite .- elle est une des lignes a double courbure que le An- 

 ciens ont connues. Proclus en parle dans son Commentaire sur la -i'-' definition du I" litre 

 d'Euclide. Dans les temps modernes cette courbe a occupe plusieurs georaetres , parmi lesquels 

 on distingue Pascal (De la dimension d'un solids forme par le moyen d'une spirale autour d'un 

 cone; OEuvres de Pascal, torn. V, pag. 422) ; et Guido Grandi (Epistola ad Th. Cctam ; OEu- 

 vrcs posthumes d'Uuygens, torn. II). 



M. Garbinski , professeur a 1'universite de Varsovie, a doniu*, il y a quelques annees , une 

 construction graphique des tangentes a cette helice conique (voyez Annales de mathematiques , 

 torn. XVI, pag. 167 et 376). 



