32 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



1 Si Ton coupe la surface heiico'ide rampante par un plan mene 

 par une de ses generatrices, la section se projettera orthogonaleraent 

 sur un plan perpendiculaire a 1'axe de la surface, suivant une qua- 

 dratrice de Dinostrate 1 ; 



2 Un cone de revolution, qui a pour axe celui d'une surface he"li- 

 co'ide rampante, coupe cette surface suivant une courbe a double 

 courbure, qui se projette orthogonalement sur un plan perpendiculaire 

 a cet axe, suivant une spirale d'Archimede. 



Ce second theoreme offre une construction de la spirale par les lieux 

 a la surface, analogue a celle que Pappus donne pour la quadra- 

 trice. 



S 28. Ces considerations de surfaces courbes et de lignes a double 

 courbure, pour la construction d'une courbe plane, qui rentrent au- 

 jourd'hui dans la Geometric descriptive et font le caractere principal 

 de 1'ecole de Monge, meritaient, ce me semble, d'etre remarquees dans 

 1'ouvrage de Pappus. Elles auraient pu conduire ce geometre a une 

 construction des tangentes a la spirale et a la quadratrice. II cut suffi 

 de remarquer que ces tangentes etaient les projections des tangentes 

 aux deux courbes tracees sur la surface heiico'ide, et que la tangente 

 en un point de I'intersection de deux surfaces est 1'intersection des 

 plans tangens en ce point aux deux surfaces. On parvient ainsi fort 

 aisement aux proprietes connues des tangentes de la spirale et de la 

 quadratrice 2 . Mais c'est la tout-a-fait 1'esprit de notre Geometric des- 

 criptive moderne, et il n'est pas probable que les Anciens aient pousse 

 aussi loin leurs speculations dans la science des surfaces courbes. II 

 est douteux meme que, du temps de Pappus, on eut une idee bien 

 nette du plan tangent en un point de la surface heii9oi'de. 



1 Si le plan secant, au lieu de passer par une gene'ratrice de la surface heli9oi'de , est mene 

 d'une maniere tout-a-fait arbitraire , nous avons reconnu qu'on obtient alors en projection 

 une quadratrice alongee, ou accourcie, ou en d'autres termes, une conchoide de la quadratrice 

 de Dinostrate. 



- M. Th. Olivier, habile professeur de geometric descriptive a 1'ecole des arts et manufac- 

 tures, a deja fait usage de ce moyen, pour construire la tangente a la spirale d'Archimede 

 (Bulletin de la Societe philomatique de Paris, annee 1833, pag. 22). 



