844 MEMOIRE DE GEOMETRIE. 



droite ma de la premiere figure ; mais ce point situ a 1'infini est sur 

 le plan I, puisque ma est parallele a ce plan ; done son correspondant 

 a' dans la seconde figure est a 1'infini. Done la droite m'a' est parallele 

 au plan J'. Ainsi toutes les droites ma, mb , me,... menees par le point 

 in parallelement au plan I, ont leurs homologues m'a', m'b', m'c',...., 

 paralleles au plan J'. Si les deux figures e"taient placets homologique- 

 ment, les deux plans I, J' seraient paralleles entre eux, et les droites 

 ma, mb , me,.. . seraient paralleles respectivement aux droites m'a' } 

 m'b' , m'c' ,.... Or, on pent bien placer les deux figures de maniere que 

 les deux plans I , J' soient paralleles entre eux, et que deux droites 

 correspondantes ma, m'a' soient paralleles entre elles; alors deux 

 autres droites correspondantes mb, mb" seront aussi paralleles entre 

 elles; mais aucune des autres droites me , md,.... de la premiere 

 figure, ne sera, en general, parallele a sa correspondante. 



En effet , prenons deux figures homographiques quelconques , pla- 

 cons-les de maniere qu'une droite quelconque ab de la premiere coin- 

 cide avec son homologue a'b' dans la seconde, et de plus que les 

 deux points correspondans a, a' coincident; il existera sur ces droites 

 un second point b qui comcidera avec son homologue b' ; et il n'en 

 existera pas un troisieme, sans quoi les deux droites seraient divis^es 

 en parties e"gales ' ; ce qui est un cas particulier de la division homo - 

 graphique de deux droites. 



1 En effet soit i le point cle la droite ab qui correspond a 1'infini de la droite a'b', etsoit/ le 

 point de celle-ci qui correspond a 1'infini de la premiere ; considerons sur ab les quatres points 

 a, b, i, et 1'infini, et sur a'b' les quatre points correspondans, a', (ou a, puisque ces deux 

 points sont superposes), 6', 1'infini , etj'; egalons les rapports anharmoniques de ces deux grou- 

 pes de quatre points ; on aura 



hit li'n 

 bi fa 



Cette equation fait voir que si Ton veut que les points b et b' coincident , il faudra qu'on ait 

 bi=faj condition qui determine la position commune des points b, b'. 



Les deux points a', b', coi'ncidant avec leurs homologues a, b, deux autres points homologues 

 c, c', ne peuvent pas co'incider, a moins qu'il n'en soit de meme de tous les autres points d, d', etc. 

 Car si les quatre points a, b, c, d, correspondent respectivement aux quatre points a, b, c, d', 

 en egalant les rapports anharmoniques , on trouve que les points d, d', coincident. 



