176 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



inconnue de nos jours, m^riterait bien de prendre place dans les 

 mens ou au moins dans les complemens de Geometric '. 



Les cinquante th^oremes de Stewart peuvent etre compris, a peu 

 pres,tous dans les quatre survans, qui sont les plus g^neraux, et dont 

 la plupart des autres ne sont que des cas particuliers : 



1 Soit un poly g one regulier de m cdtes , circonscrit a un cercle 

 du rayon R; soit n un nombre quelconque plus petit que m; 



Si dun point quelconque (pris dans finterieur du polygons si n. 



1 Quand le point D est pris sur la meme droite que les trois points fixes , le theoreme de 

 Stewart exprime une relation generale entre quatre points quelconques situes en ligne droite. 

 Nous avons reconnu que cette relation, ainsi que d'autres concernant aussi quatre points en 

 ligne droite , derivent d'une relation generale entre cinq points situes en ligne droite : 



Soient A , B , C , D , E , ces cinq points , on aura 



ET'BC.CD.DB + ETT CD.DA.AC Ec7 J DA.AB.BD HT AB.BC.CA = . 



La maniere de former les termes de cette equation est manifeste. Pour determiner leurs 

 signes, on divisera tous les termes par le produit AB.BC.GA. L'equation prend la forme : 



, DB.DG a PA.DC . DA.DB_ , 



EA> lEIC" 4 EB> BXBC~ EC> LATCB" ED> 



Dans cette equation , on donnera le signe + au produit de deux segmens comptes dans le 

 meme sens a partir du point qui leur est commun, et le signe au produit de deux seg- 

 mens eomptes dans des sens difierens. 



Voici quelles sont les relations entre quatre points, qu'on deduit de la relation generale 

 ci-dessus : 



a 



1 Si on suppose le point E a 1'infini, on aura, en divisant par El) , 



BC.CD.DB -+- CD.DA.AC DA.AB.BD AB.BC.CA o. 



Chaque terme de cette equation est le produit des trois segmens formes par trois points 

 pris deux a deux ; 



2 Si les deux points E , D se confondent , il vient : 



DA.BC. + DB.AC DC.AB = o. 



Cette equation exprime la relation la plus simple entre quatre points A , C, B, D, situes 

 en ligne droite; 



3 Enfin, quand le point D est a 1'infini, 1'equation generale devient 



EAT'BC -+- B?AC E"C?AB = AB.BC.CA. 



C'cst 1'equation de Stewart. 



