HIST01RE DE LA GEOMETRIE. 231 



ont lieu eritre ces deux modes de construction, de maniere in conclure 

 toujours 1'un de 1'autre. 



37. Nous sommes ruin'- dans des considerations, pout-litre trop L. U^M dc. powr 



j. - . o'eil p le mode 



developpees, pour men penetrer le lecteur de cette idee, que la duuldd d ^ ' t * h 

 de 1'etendue ne provient nullement des circonstances de construction 

 qui avaient sembie, dans la thdorie des polaires rdciproques, faire le 

 caractdre distinctif des modes de transformation propres a mettre cette 

 dualite en Evidence. 



II rEsulte aussi de ces considerations, que la th&me des polaires 

 reciproques n'est pas le mode de transformation le plus general. Mais 

 si c'eut ete la seule ve'rite' que nous eussions voulu mettre en Evi- 

 dence, il nous aurait suili de dire que, dans le mode general, qui 

 comprend tous les autres, on peut, pour construire la figure correla- 

 tive d'une figure proposed, prendre arbitrairement dans 1'espace cinq 

 plans coinme correspondant a cinq points design&s de la premiere 

 figure; tandis que dans la the"orie des polaires reciproques, deux figures 

 correlatives ont entre elles des dependences beaucoup plus restreintes. 

 Car si 1'on y considere deux tetraedres dont les sommets de 1'un cor- 

 respondent aux plans du second, les quatre droites qui joindront les 

 sommets du premier respectivement aux sommets du second , opposes 

 aux plans qui correspondent aux quatre sommets du premier, ces 

 quatre droites, dis-je , seront toujours quatre generatrices d'un meme 

 mode de generation d'un hyperbolo'ide a une nappe '. 



Les autres modes de transformation offreut pareillement quelques 

 dependences particulieres de situation entre les figures et leurs trans- 

 formees, mais qui sont differentes de celle que nous venons d'enoncer 

 pour les figures polaires reciproques. 



1 Cela provient de ce que let droites qui joignent let quatre sommets d'un tetraedre aux pdles 

 des facet opposees , pris par rapport a une surface du second degre quelconque , sont quatre gene- 

 ratrices d'un meme mode de generation d'un hyperbolo'ide a une nappe. 



Ce theoreme, que nous avons demontre dans les Annalcs de mathematiques , torn. XIX , 

 |i;i;;. 76, est susceptible d'un grand noinbre de corollaires. On en conclut , par exemple, que 

 les quatre perpcndiculairet abaissees des sommets d'un tetraedre sur les faces opposees , sont quatre 

 generatrices d'un meme mode de generation d'un hyperbolo'ide . 



