242 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



Note placed a la suite de ce Trait6 des surfaces du second degr6, se 

 trouve de'montre^e, pour la premiere fois, 1'une de leurs plus belles 

 proprie"ts, a savoir que les trois surfaces douses d'un centre , 1'ellip- 



geometrique , qui a passe dans 1'enseignement de 1'ecole , et a etc reproduce dans divers ou- 

 vrages. (Voir le Traitede Geometrie descriptive de M. Vallee , pag. 86; et celui de M. Leroy, 

 professeur a 1'ecole polytechnique , pag. 267.) 



Cette demonstration repose sur ce theoreme : Etant donne un quadrilatere gauche A BCD , 

 si une droite mobile s'appuie sur les deux cotes opposes AB , CD, en deux points m, n, tels 

 que I'on ait 



mA nD 



nB ~ *' ^C ' 



a etant une constante , cette droite engendrera un hyperbolo'ide a ime nappe. Car elle s'appuiera 

 dans toutes ses positions sur toute autre droite qui rencontrerait les deux autres cote's op- 

 poses du quadrilatere en deux points p , q, tels que I'on ait 



(Voir Correspondence polytechnique, torn. II , pag. 4-46.) 



La demonstration de ce theoreme est tres-facile , puisqu'elle n'exige que la connaissancc 

 du theoreme de Ptolemee , sur le triangle coupe par une transversale. ( Correspondance poly- 

 technique, torn. Ill, pag. 6). Depuis , la theorie du rapport anharmonique m'en a offert une 

 seconde demonstration , encore plus simple et plus elementaire , qui ne repose absolument 

 que sur la notion du rapport anharmonique. (Voir la Note IX.) 



Ce theoreme s'applique aussi a la generation des sections coniques et exprime une belle 

 propriete generale de ces courbes. ( Fair la Corresp. mat hem. de M. Quetelet, t. IV, p. 363). 



En disant que la double generation de 1'hyperboloide a une nappe prit naissance dans 

 1'ecole polytechnique, nous n'entendons parler que de 1'hyperboloTde a axes ine'gaux ; et nous 

 devons ajouter que la double generation, par une droite, de 1'hyperbolo'ide a une nappe 

 de revolution, etait connue , mais peut-etre oublice, car sa de'couverte date de loin, eta 

 etc reproduite rarement. Nous trouvons qu'elle est due a Wren , qui la fit connaitre dans une 

 note tres-courte, insere'e dans les Transactions philosophiques (annee 16(59, pag. 961), sous 

 le litre : Generatio corporis cylindroidis hyperbolici, elaborandia lentibus hyberbolicis acco- 

 modati. Wren indique 1'usage qu'on pourra faire de ce mode de generation par une droite , 

 pour la construction de lentilles hyperboliques. 



En 1698 , Parent a aussi trouve cette propriete de 1'hyperboloide de revolution , qu'il a 

 de'montree dans deux memoires diflerens ; par 1'analyse et par de simples considerations de 

 Geometric. (Essais et Recherches de mathematiques et de physique, torn. II, pag. 6-45, et 

 torn. Ill, pag. 470.) Cette propriete, que n'ont pas les autres surfaces produites par la re- 

 volution d'une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire a Parent que l'hy- 

 perboloi'de a une nappe est la plus complete de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six 

 sections difFerentes , savoir : 1'espace parallele, Tangle rectiligne , le cercle, la parabole , 

 1'ellipse et 1'hyperbole. Ce ge'ometre appelle cette surface cylindrolde hyperbolique , de 

 meme que Wren , et se sert aussi de sa propriete d'etre engendree par une droile , 



