HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. _>', ) 



degre '. Ce theoreme, qui sera utile pour transporter aux courbes 

 planes du troisieme degre , certaines propriel&s des courbes a double 

 courbure du quatrieme , et vice versa 2 , peut recevoir une sorte de 

 generalisation qui en rendra souvent les applications plus faciles et 

 plus etendues. On peut dire que la courbe d' intersection de deux 

 surfaces du second degre 1 donne en perspective sur un plan, Fail 

 etant place en un point de cette courbe, toutes les courbes du troi- 

 sieme degre'. 



52. La belle proposition de M. Quetelet etait de nature a faire 

 supposer que la projection, ou plus generalement la perspective, de 

 1'intersection de deux surfaces du second degre, pouvait aussi pro- 

 duire toutes les courbes planes du quatrieme degre , et qu'il suflisait 

 pour cela de placer 1'oeil en dehors du p6rimetre de la courbe. Mais 

 nous croyons pouvoir r^pondre negativement a cette question ; et de- 

 terminer, par le theoreme suivant, la nature particuliere des courbes 

 du quatrieme degre que produit la perspective de la courbe de pne~ 

 tration de deux surfaces du second degre ; savoir, qu'tme telle courbe a 

 toujours (et (je'neralcment f c'est-d-dire saufles modifications parti- 

 culieres] deux points doubles ou conjugues', lesquels peuvent elre 

 imaginaires. 



Ce thdoreme mdrite quelqu'attention. Car les consequences qu'on 

 en tire sont nouvelles, et i-epondent ^ des questions qui ont occupe 

 les geometres dans ces derniers temps. 



On en conclut d'abord que la courbe du quatrieme degre, qui provient 

 de la perspective de 1'intersection de deux surfaces du second degre, 

 ne peut admettre plus de huit tangentes issues d'un m^me point, pris 

 arbitrairement dans son plan 5 tandis que la courbe plane du quatrieme 

 degre la plus generale ad met douze tangentes issues d'un meme point. 



1 Correspondance mathtmatique de Bruxelles, torn. V, pag. 195. 



- I'.ir exeinple, de ce qu'unc courbe plane du troisieme degre a generalement trois points 

 d'inflexion , qui sont en ligne droite, on conclut que, I" par un point quelconque de la courbe 

 a double courbure du quatrieme degre , en question, on petit metier generalement trois plans qui 

 soient osculateurs a cette courbe en trois aitlrcs points; et 2 ces trois points et celui par lequel 

 sont mcncs les trois plans, sont tows quatre dans un meme plan. 



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