250 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



On conclut encore de la, que la de" veloppable circonscrite a deux sur- 

 faces du second degre" , est gne"ralement, et au plus, du huitieme degre\ 

 On n'avait point encore indique^ le degre de cette surface ; M. Poncelet 

 s'&ant born a dire qu'il ne pouvait depasser le douzieme ! . 



Les applications du th^oreme en question, a la theorie des courbes 

 planes du quatrieme degr6 , seront nombreuses ; car on rencontre 

 beaucoup de ces courbes que 1'on reconnait provenir de la perspective 

 ou de la projection de 1'intersection de deux surfaces du second degr6 '. 



53. Ayant a parler des courbes a double courbure du troisieme et 

 du quatrieme degr6, nous avons commence^ par celles-ci, parce que nous 

 croyons qu'elles sont les seules dont on se soit occup6 jusqu'ici. Les 

 premieres cependant sont beaucoup plus simples et plus faciles a tu- 

 dier. Nous avons trouve" qu'elles jouissent de diverses proprie"tes int- 

 ressantes, et qu'elles se pr^sentent dans beaucoup de questions. Cette 

 matiere pourrait donner lieu a un ample d^veloppement que nous 

 devons omettre ici. 



1 Memoire sur la theorie generate des polaires reciproques , art. 103; Journal mathematique 

 de M. Crelle, torn. IV. 



2 Ainsi , par exeinple, les ovales de Descartes, ou lignes aplanetiques , sont la projection 

 stereographique de la ligne de penetration d'une sphere par un cone de revolution ( Theorems 

 de M. Quetelet, voir la note XXI). On conclura de la que ces celebres ovales ont toujours deux 

 points conjugues imaginaires situes a 1'infini. Ce que Ton ne verrait peut-etre pas par d'autres 

 voies; car on a neglige jusqu'a present, dans la recherche des points singuliers des courbes, 

 les solutions imaginaires , et meme aussi les points situes a 1'infini , Icsquels echappent souvent 

 a 1'analyse. Les uns et les autres cependanl font partie des affections particulieres des courbes, 

 et doivent jouer un role important dans leur theorie. 



Ainsi encore , les lemniscates formees par les pieds des perpendiculairea abaissees d'un point 

 fixe sur les tangentes d'une conique, sont les projections stereograph iques de I'inlersectioii 

 d'une sphere et d'un cone du second degre ( Theoreme de M. Dandelin ; voir le 4 e vol. des 

 Nouveaux Memoires de I'Academie de Bruxelles) ; on en conclut que ces courbes ont deux 

 points conjugues imag'naires a 1'infini. On sail qu'elles ont un troisieme point double ou con- 

 jugue toujours reel , qui est le point par ou 1'on mene les perpendiculaires ; on conclut de la 

 que ces courbes aclmettent seulement six tangentes issues d'un meme point. D'autres conside- 

 rations de Geometric plane m'ont encore conduit a ce rcsultat. 



Beaucoup d'autres courbes du quatrieme degre ont pareillement des points conjugues ima- 

 ginaires situes a 1'infini. Telles sont les spiriques on sections planes de la surface annulaire ; la 

 cassinoi'de, etc. , etc. 



