HISTOIRE DE LA GEOMfcTRIE. 259 



principe de dualitE en algebre. D'abord comme moyen d'intEgration dans 

 plusieurs cas; et cnsuite comme pouvant donner, par I'expression algE- 

 brique de certains rEsultats de GEomEtrie , divers thEoremes d'algebre. 



Nous aliens expliquer en peu de mots cette double application du 

 principe de dualitE a 1'analyse algEbrique. 



8. A. une surface donnEe, correspond, suivant le principe de dua- 

 litE, la surface correlative; et a chacune des propriEtEs de la premiere 

 surface correspond une propriEtE de la seconde. 



Si la premiere surface est exprimEe par une Equation (dans un sys- 

 teme quelconque de coordonnEes), les relations gEomEtriques qui ont 

 lieu entrtf elle et la seconde surface serviront a passer de cette Equa- 

 tion a celle de la seconde surface, dans le meme systeme de coordon- 

 nEes : et, rEciproquement, a passer de 1'Equation de cette seconde 

 surface a celle de la premiere ( Nous donnerons les formules qui servent 

 a cela dans le systeme de coordonnEes de Descartes). Si la premiere 

 surface est reprEsentEe seulement par une Equation aux difFErentielles 

 partielles, a cette Equation en correspondra une autre qui sera sa cor- 

 relative et qui appartiendra a la seconde surface. Cette autre Equation 

 sera gEnEralement differente de la proposEe , et pourra se preter plus 

 ou moiiis facilement qu'elle aux mEthodes d'intEgration. Si Ton peut 

 1'intEgrer, on aura 1'Equation de la seconde surface, et 1'on passera, par 

 les formules en question , de cette Equation a celle de la premiere sur- 

 face; ce sera done 1'intEgrale de 1'Equation aux differences partielles 

 proposEe. 



Cette methode est celle, comme on voit, que nous avons dEveloppEe 

 dans la Note XXX sur les surfaces rdciproques de Monge, comme 

 ayant pu avoir EtE 1'objet de cette thEorie des surfaces rEciproques. 



Cette mEthode, considErEe analytiquement et abstraction faite de 

 toute considEration gEomEtrique, n'est au fond qu'un mode de trans- 

 formation algEbrique, dont les relations entre les variables correspon- 

 dantes nous sont indiquEes a priori par I'expression analytique des 

 relations qui ont lieu entre les figures corrElatives construites suivant 

 le principe de dualitE. 



