260 HISTOIRE DE LA GEOMETRIE. 



S 9. Voici quelle sera la seconde maniere de faire servir le principe 

 de dualit^ a la de"couverte de divers the"oremes d'algebre. 



Que 1'on ait trouve" par ce principe un thEoreme de Geometric ; et 

 qu'en cherchant a dEmontrer ce thEoreme par 1'analyse, c'est-a-dire , 

 par la me"thode des coordonnees, on eprouve une difficult^ insurmon- 

 table provenant de I'imperfection actuelle de la science algelmque, 

 on cherchera a pre"ciser le point de difficult^, ou en d'autres termes, 

 la notion algEbrique qu'il serait ne"cessaire d'admettre pour arriver A 

 la conclusion dEsirEe. Cette notion algelmque sera un the"oreme d'al- 

 gebre, qui se trouvera, de la sorte, d^montre" par des considerations 

 gEomEtriques. 



Un exemple Eclaircira suffisamment cette maniere de proce*der. 



Supposons qu'on veuille dEmontrer par la methode des coordonn^es 

 en usage, ce th^oreme : Si a une surface gdometrique donnee on mene 

 tons ses plans tangens paralleles a un m6me plan transversal, leurs 

 points de contact avec la surface auront pour centre des moyennes 

 distances un mdme point de I'espace } quelle que soit la position du 

 plan transversal. 



En repr&sentant par F (x, y, z) o liquation de la surface, on 

 trouve que les coordonn^es des points de contact des plans tangens, 

 sont donn^es par cette Equation et par les deux suivantes : 



dF </F 



H o - =o, 



ax as 



dF r dF 



hi - = o; 



dy dz 



a et b etant les deux quantit^s angulaires qui d^terminent la direction 

 commune aux plans tangens. Elirninant y et z entre ces trois Equa- 

 tions, on aura une Equation rEsultante en x dont les racines seront 

 les abscisses des points de contact des plans tangens avec la surface. 

 II faudra done, d'apres le thEoreme EnoncE, que la somme de ces ra- 

 cines soit la mme, quelle que soit la direction commune des plans 



