NOTES. 281 



Chacune de ces Equations pent so transformer de diflerentes manieres en d'autres,qui 

 uuront deux, trois ou quatre termes. Plusieurs de ces transformations sont necessaire* 

 pour donncr ('interpretation des Poritmet du premier livre d'Euclide. Nous devons ajou- 

 ter que chacuue des Equations que 1'on ohticnt ainsi , sert a exprimcr plusicurs porismes 

 (lil)crens, parcc qu'on y peut prendre pour inconnues du porisme, au lieu des coefficiens 

 constans, comme nous 1'avons fait, difle'rcntcs parlies de la figure, telles que les points 

 o, o' , ou les directions des transversales. 



On tirera de la sorte , de nos deux propositions generates, une multitude de porismes , 

 et nous croyons ne pas cxagrer en en portant le nomhre a deux ou trois cents. Une telle 

 ubondance s'accorde bien avec ce que dit Pappus, de la fcondit6 des Porismet d'Euclide: 

 Per omnia Porigmata non niti prima principia, et tetnina tantum multarum et 

 magnarum rerum SPARSISSE VIDETUH (Euclide). 



Des diflerentes Equations identiques dont nous Tenons de parler , nous avons choisi 

 pour exemples les deux (1) et (2), parce que ce sont celles qui embrassent le mieux 1'in- 

 linitr- de propositions que comporle cettc matiere, et surtout parce que ce sont celles qui 

 ont leurs analogues duns 1'espace, et qui servent a elendn: la doctrine des Poritmeg 

 d'Euclide a la Gom6trie a trois dimensions. 



Yoici les deux thoremes generaux qui rempliront cet objet; nous les e~noncerons sous 

 forme de porismes : 



Premier porisme : Etant dotme'g dang I'etpace un triangle ABC , et trois trantver- 

 gales quelconqueg , qui rencontrent le plan du triangle en E, E' , E" ; et etantprig gur 

 cet troig droite*, troig points fixes O, 0', 0" ; 



Si de chaqtte point d'un plan donne on menc troig plang pagtant regpecticement 

 par leg troig coteg ATI, EC, CA du triangle, et rencontrant respecti Dement leg troi.t 

 trangoergaleg aux pointt a, a', a"; 



On pour ra trouoer troig quantiteg coimtunlcx . telleg ijiion aura toit/oufg I' equation : 



Oa O'o' 0"o" 



Ea E'a' E'V 



Et, reciproquement, les trois coefficiens ?., /u, v 6tant donnes , il leur correspondra 

 toujours un certain plan qu'on pourra d6terminer. 



Second porisme : Etant prig dang I'egpace un angle triedre dont le sommet eat en 

 S , et etant prig xur geg areteg troig pointg fixeg O, O , O" ; 



Si, autour d'un point donne , on fait tourner un plan transversal , qui rencontrera 

 leg areteg de I' angle triedre en a, a' ct a"; 



On pourra trouver troig quantiteg contlanteg ,A, p, v, telleg qu'on aura touj'ourg 

 I'equation : 



Oa O'a' 0"a" 



So H So 7 " ^" ^' So" 



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