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NOTE VIII. 



I'KEMIKRE EPOQUE, 20.) 



Description des spirales et des quadratrices , au may en d'une surface he'li- 

 coide rampante. Analogic de ces courbes avec celles qui portent le meme 

 nom dans le systeme de coordonnc'es de Descartes. 



Les constructions de la spirale et de la quadratrice, Iaiss6es par Pappus , ne sont que de 

 simples applications de deux proceeds gn6raux pour construire, par 1'intersection de la 

 surface helifoide rampante et d'une seconde surface d6terminee convenablement, toutes 

 les spirales , et une infinite 1 d'aulres courbes auxquelles je donnerai le nom de quadra- 

 trices, parce qu'elles sont exprimees par les monies coordonne'es que la quadralrice de 

 Dinostrate. 



La seconde surface qu'il faudra employer sera , pour la construction des spiraleg, une 

 surface de revolution autour de 1'axe de la surface helisoide; et pour la construction des 

 quadratrices , ce sera une surface cylindrique dont les ardles seront perpendiculaires a 

 1'axe de la surface h61i(;oide. 



Nos constructions donncnt imme'diatement les tantjentes el les cercles osculateurs 

 des courbes que nous conside'rons. Mais elles ont pour principal avantage d'dtablir des 

 relations g6onietriques constantcs enlre ces courbcs et celles qui. dans le systeme de 

 coordonne'es ordinaires, portent le me 1 me nom; par exemple, entre la spirale hyper- 

 bolique , et \' hyperbole, enlre la spirale logarithmique ct la logarithmique. Dans ce 

 systeme , la tpirale d ' Archimede correspondra a la ligne droite. 



Jusqu'a present ces courbes n'avaient entre elles d'autres rapports que la me'me forme 

 d'6quationenlrc des variables diffe>en les, et ccla n'^lablissait aucun lien de construction, 

 ni aucunes relations gome'lriques entre elles. Le proc6d6 qui fait servir les uncs a la 

 construction des autres conduil dc la maniere la plus salisfaisanle aux propri^lds qui ont 

 rendu ces courbns celebres, particulierement la spirale logarilhmique , et donne a priori 

 les raisons g^om^triques de ces belles propri6l6s. 



Construction des tpirales. Concevons une surface de revolulion, engendr^e par 

 une courbe quelconquc autour d'un axe fixe situe dans son plan ; prenons cet axe vertical ; 

 les perpendiculaires abaisse'es des points de la courbe sur cet axe seront ses ordonnee* , et 

 les distances des pieds de ces perpendiculaires a un point fixe de 1'axe seront les abscistes. 



Supposons que le plan de la courbe lourue d'un mouvement uniformc , et qu'en meme 

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