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temps un point M, place sur la courbe mobile, se meuvesurcette courbe comme sielleetait 

 immobile , et que le mouvemeut de ce point se fasse de maniere que ses abscisses croissent 

 uniform6menl. C'est-a-dire que le mouvement du point, estime suivant Taxe de rotation, 

 est proporlionnel au mouvement de rotation. Le point M decrira ainsi , sur la surface 

 de revolution , une certaine courbe a double courbure. 



La projection orthogonale de cette courbe, sur un plan perpendiculaire a 1'axe de r<5vo- 

 lution , sera une spirale , dont nous allons lirer 1'equation de celle de la courbe g6n6ratrice 

 de la surface de revolution. 



Soil z = Fy, 



liquation de la 'courbe gen^ratrice ; considerons celte courbe a un instant de son 

 mouvement; soil M le point generateur sur cette courbe ; son abscisse z sera proportion- 

 nelle a la rotation ^prouve'e par le plan de la courbe , depuis 1'origine du mouvement ; cette 

 rotation se mesurera par Tangle que la trace du plan mobile sur un plan horizontal fera 

 avec un axe fixe qui marquera 1'origine du mouvement; soil done u cet angle; on aura 



z = au; et consequemment au = Fy. 



Soit m la projection du point M sur le plan horizontal , et le pied de 1'axe de revolution 

 sur ce plan. Le rayon Om, que je ddsigne par /, est 6gal a I'ordonn6e y du point M ; on a 

 done entre ce rayon et Tangle u , qu'il fait avec Taxe fixe donl nous venons de parler, la 

 relation 



OM = Yr. 



Cette relation est liquation, en coordonne'es polaires, de la projection de la courbe a 

 double courbure trace sur la surface de revolution. 



Remarquonsmaintenant que la perpendiculaire abaissee du point mobile M, sur Taxe de 

 revolution, engendre la surface d'une vis a filets carrds, qu'on appelle aussi surface heli- 

 co'ide rampante ; car cette droile est toujours horizontale, et elle s'eleve au-dessus d'un 

 plan horizontal d'un mouvement uniforme, en meme temps que le plan vertical qui la 

 contient tourne uniformement autour de Taxe de revolution. 



Done la courbe engendree par le point M est a Tintersection de la surface de revolution 

 par une surface helico'ide. 



On a done ce theoreme : 



1 Toute spirale (nous cntendons par spirale toute courbe representee par une equation 

 entre les deux coordonnees polaires r et u ) pent etre conside'ree comme la projection 

 de I' inter section d'une surface helico'ide rampante par une certaine surface de revo- 

 lution determinee convenablement , ces deux surfaces ayant pour axe commun la 

 perpendiculaire auplan de la spirale , menee par son origine ; 



2 au = Vr 



etant I 'equation de la spirale , et a le rapport entre le mouvement ascensionnel et le 



