NOTES. 299 



iiniiiri mi-lit de rotation de la droite gdndratrice de la turface hilifo'ide , I'dquation de 

 la courbe generatrice de la turface de revolution tera 



let abtcistet r etant comptiet tuivant I'axe de revolution, et let ordonne'et y perpen- 

 diculairement a cet axe. 



Pour la spirale d'Archim^dc , dont liquation est au = r, 



I, V. | n. it inn de la courbe meridienne de la surface de revolution sera 2 =y; c'cst urn: 

 droile; ainsi la surface de revolution sera un c6ne; c'est la un des deux theoremes de 

 Pappus. 



Pour la spirale hyperbolique, qui a pour Equation ur= constante , 



Liquation de la section meridienne de la surface de revolution sera 



sy = a. const. = const. 



C'cst une hyperbole equilatere , qui a 1'une de ses asymptotes dirigee suivant I'axe de la 

 surface heiicoide. 



Pour la spirale logarithmique dont 1'^quation est 



= log. r 

 on aura 



s = a log. y; 



C'est liquation d'une logarilhrniquo-dans laquelle les abscisses *sont proportionnelles 

 aui logarithmes des ordonnes //. 



Ainsi : Si une loyarithmique ordinaire engendre une surface de revolution, en tour- 

 nant autour de ton asymptote , et qu'on confoive que cette asymptote soit I'axe d'une 

 turface helicoifde rampante , ces deux surfaces se couperont suivant une courbe a dou- 

 ble courbure dont la projection orthogonale , sur un plan perpendiculaire a I'asymp- 

 tote , sera la spirale logarithmique. 



Tangentes aux spirales. Soit M un point de 1'inlersection de la surface heiicoide 

 par la surface dc revolution ddtcrminee, comrae nousavons dii . de maniere a produire une 

 spirale donn^e. La tangente en un point in de cette spirale sera la projection de {'inter- 

 section des plans tangens a ces deux surfaces au point M. Le plan tangent a la surface de 

 revolution renconlrera I'axe de revolution en un point ; je suppose que le plan horizontal 

 sur lequel on a decrit la spirale passe par ce point ; la droite 031 se projette sur ce plan 

 en Owt , c'est le rayon vecleur de la spirale 



Le plan tangent a la surface de revolution coupe le plan horizontal suivant une droitc 

 Of perpendiculaire au rayon Om. 



Le plan tangent a la surface heiicoide au point M passe par la generatrice de cette 

 surface, laquelle est parallele au rayon 0/n; la trace de ce plan sur le plan horizontal est 

 done parallele au rayon 0/n. II MI Hit done, pour determiner cette trace, d'en trouver un 

 point. Orce plan tangent passe par la tangente a 1'helice conduite par le point M sur la 



