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surface helifoide; cette tangente est dans le plan vertical perpendiculaire au rayon Om; 

 soit $ le point oii elle rencontre le plan horizontal et a. Tangle qu'elle fait avec 1'axe de la 

 surface he'lico'ide, on aura dans le triangle Mw9, rectangle en m, md = Mi tang. a.. Mais 

 on sail, paries propriety's de la surface heii9o'ide , que la tangente trigonometrique de 

 Tangle a. est proportionnelle a la distance du point M a Taxe de la surface; done tang. = 

 Om. Const. Celte constante est 6gale au rapport qu'il y a enlre le mouvement circulaire et 

 le mouvement ascensionnel de la gene'ratrice de la surface heii9oide; nous avons repr6- 

 sente ce rapport par ; on a done enfin 



Om Mm. Om 



tang, a = - : et md = -- 

 a a. 



La droite wisest perpendiculaire au rayon vecteur Om; la trace du plan tangent a la 

 surface heiifo'ide est parallele a ce rayon ; done si on prend sur la droite Of, perpendi- 

 culaire a ce rayon , une partie 



Om.Mtt 



Ot = m9 = - , 

 a 



le point t appartiendra a cette trace. Or cette droile Ot est la trace du plan tangent a la 

 surface de revolution; done le point t appartient a Tintersection des plans tangens aux 

 deux surfaces, et cons<5quemment ce point apparlient a la tangente en m a la spirale qui 

 est la projection de Tinterseclion de ces deux surfaces. 



La ligne Ot s'appelle , comme on sail, la sous-tangente, de la spirale; la sous-normale 

 est la partie On comprise sur le prolongement de la droile Ot enlre le point et la nor- 

 male a la courbe ; elle est egale au carre du rayon divis6 par la soutangente ; ainsi : 



a. Om 



On = -- 

 Mm 



Maintenant pour faire usage de ces formules , nous remarquerons que le plan tangent a la 

 surface de revolution au point M, passant par le point 0, la ligne Mm est prt5cisdment egale 

 a la sous-tangente de la courbe generalrice de la surface de revolution: cette sous-tangente 

 etant prise sur Taxe de revolution. 



Appelons S cette sous-tangente , et remarquons que le rayon vecteur Ow de la spirale 

 est gal a Tordonn^ey de la courbe g6n6ralrice de la surface de revolution, nous aurons: 



y.S 



Ot = , 

 a 



Telles sont les expressions de la sous-tangente et de la sous normale d'une spirale, en 

 fonction de la sous-tangente et de Tordonne'e de la courbe g6n6ratrice de la surface de 

 revolution. 



