NOTES. 301 



Dans la spirale d'Archimede , la lignc g6neratrice est droite ; on a ^ = const. ; 

 done On = const. Done 



Dans la spirale d'Archimede, la sous-normale est constante. 



Pour la spirale hyperbolique, la courbc generatrice est une hyperbole equilatere, dans 

 laquclle on a , comrac on sail , S. y = const. , done Ot = const. ; done 



Dans la spirale hyperbolique la sous-tanyente est constante. 



Dans la logarithmique lu soutangcnte complee sur 1'asymptote est constante . done 

 S = const. ; et consequemment dans la spirale logarithmique, on a 



0* Ot 



= const. , ou = const. : 



y Om 



Or est dgal a la langente trigonometrique de Tangle que la tangente a la spirale fait 

 avec le rayon vecteur ; done cct angle est constant; ainsi : 



Dans la spirale logarithmique la tangente fait un angle constant avec le rayon 

 vecteur. 



Puisque Ot est proportionnel a Om, on voit que si Ton porle sur le rayon Tecteur une 

 ligne 6gale a la sous-langente, 1'extre'mite' de celte ligne sera sur une spirale logarilhmique 

 semblable a la proposee; mais si on suppose que cctte spirale fasse un quart de conversion 

 autour de son centre, chacun de ses rayons viendra co'incider avec la sous-tangente corres- 

 pondanle de la propose'e; done les pieds des tangentcs a cctle spirale sont sur une seconde 

 spirale qui lui est semblable; or deux spiralcs logarilhmiques semblables entre elles sonl 

 nlcessairemcnt dgales , parce que les angles que leurs tangentes font avec leurs rayons 

 vectcurs sont gaux, et qu'a uu angle donnd ne correspond qu'une spirale; nous pouvons 

 done enoncer ce thdoreme : 



Dans la spirale logarithmique , les pieds des tangentes sont sur une seconde spirale 

 logarithmique parfaitement e gale a la premiere , mais placee diffJremment. 



La me'me proprie' 16 a 6galement lieu pour les pieds des sous-normales. 



Rayons de courbure des spirales. Les spirales 6tant considrees comme la section 

 droite d'un cylindre qui passe par la courbe d'intersection d'une surface de revolution par 

 une surface heli^o'ide rampante, on trouve aisement , an moyen des theoremes d'Euler et 

 de Meunier, la valeur de leur rayon de courbure en un point quelconque, en fonction du 

 rayon de courbure de la courbe meridienne de la surface de revolution. Pour abrtSger cetle 

 Note, nous omettrons ici cette construction , sur laquelle nous reviendrons dans un autre 

 moment. 



Nous renvoyons aussi a un autre ecrit la construction ties quadratrices , analogue a celle 

 des spirales. 



