302 NOTES. 



NOTE IX. 



(PREMIERE EPOQUE, 30.) 



Sur la fonction anharmonique de quatre points , ou de 



quatre droites. 



Quand quatre points a, b, c , d sont en ligne droite, nous avons appe!6 la fonction 



ac be 

 ^d ' bd 



le rapport anharmonique des quatre points. 



La proposition 129 e du seplieme livre de Pappus, signifie que : quand quatre droites 

 sont issues d'un meme point, toute transversale les rencontre en quatre points dont le 

 rapport anharmonique a toujourg la meme valeur , quelle que soit la Iransversale. 



Cette propri6t6 de la fonction anharmonique de quatre points la distingue de toute 

 autre fonction qu'on pourrait former avec les segmens que ces quatre points font entre eux. 



Mais la fonction anharmonique jouit d'une autre proprietd encore plus capitale, et dont 

 celte premiere derive, c'esl que : 



Si d'un point pris arbitrairement on mene des droites aboutissant d quatre points 

 situes en ligne droite, la fonction anharmonique de ces quatre points aura preci- 

 sement pour valeur ce que deviendra cette fonction quand on y suhstituera, aux 

 quatre segmens qui y entrent , les sinus des angles que feront entre elles les droites 

 qui comprendront ces segmens. 



Cette fonction entre les sinus des angles de quatre droites issues d'un meme point , sera 

 dite fonction anharmonique des quatre droites. 



Ce theoreme prouye que la fonction anharmonique de quatre points est de nature 

 projective, c'est-a-dire , que cette fonction conserve la meme valeur quand on fait la pro- 

 jection ou perspective des quatre points auxquels elle se rapporle. 



On peut gen6raliser ce th^oreme , en menant par les quatre points quatre plans quel- 

 conques , pourvu qu'ils se coupent suivant une m6me droite, prise arbitrairement dans 

 1'espace; la fonction anharmonique des quatre points conservera la meme valeur, 

 si Von y substitue , a la place des segmens, les sinus des angles diedres que les 

 plans qui comprennent ces segmens font entre eux, 



Nous avons exprim6 le rapport anharmonique des quatre points a, b, c, d par la fonclion 



ac be 

 Td ' bd' 



