NOTES. 303 



Mais on peut, tout ausai bien, prendre les deux autres fonctions 



ac dc ab cb 



* _ _, t 



ab ' db ad cd 



On n'en peut pas former une quatrieme semblablc , avec les quatre points a, b, c, d. De 

 sorte que le rapport anharmonique de quatre pointt peut t'exprimer de troit manieres. 



Si 1'un des points est a 1'infmi, ce rapport se simplifie, il ne conlient quc deux segmens. 

 Ainsi soil le point d situd a 1'infini , le rapport anharmonique des quatre points a,b,c ct 



I' i 1 1 1 1 1 1 i , s'exprimera des trois manieres : 



ac ca ba 

 cb ab be 



Soient quatre points a, b, c, </silu6s en ligne droite, etqualre autres points a',b', c', d' 

 MI in'-- sur uneautre droite, et correspondans respectivement aux quatre premiers ; suppo- 

 sons que le rapport anharmonique de ceux-ci, soil gal au rapport anharmonique des 

 autres; c'est-a-dire , quc Ton ait 1'une des trois Equations suivantes : 



ac be a'c' b'c' 



* _ ~~ * _ 



i rj / j/ t/j/' 



aa ba a a b a 

 ac dc a'c' d'c' 



ab _ cb _ a'b' _ c'b' 

 ad ' cd a'd' ' c'd' 



Je dis que let deux autret Equations t'ensuivront ndcessairement. Ainsi, I'une quel- 

 conque des troit equations (A) comporte les deux autres. C'est une verification qu'on 

 pourrait faire par le calcul. Mais il est plus facile de se serrir , pour demonlrer cette 

 propriety de la fonction anharmonique , d'une consideration geom6trique. 



Qu'on place les deux droites sur lesquelles sont Minus les deux sysleraes de points, 

 de maniere que les deux points correspondans </, il se confondent en un point unique D; 

 qu'on lire les trois droites aa',bb' } cc' ; ces trois droites se couperont en unmeme point. 

 Car soil S le point d'intersection des deux premieres aa' , bb'. Tirons SD et Sc; soil y 

 le point ou Sc rencontre la droite a'b'c' ; on aura par la proposition ciu'c de Pappus : 



ac be a'y b'y 

 oD * D o'D ' Fb 



Mais nous supposons que la premiere des equations (A) a lieu; y mettant D a la place 

 de rf, et la comparant a celle-ci , on en conclut que le point y se confond nvcc le point <' 

 Dun il i rMilir que les trois droites aa', bb' , cc' passent par un me'me point S. 



Considerant les quatre droites Saa', SA//. Sec' et SD, coupees par les deux transversales 



