NOTES. 305 



C'est une relation identique outre lea trois points 6, at, y, supposes places dans 1'ordre 

 mi nous les ecrivons. 



Ainsi , les Equations (B) sont demontrees. 



Remarquons que liquation ci-dessus , qui devient , quand on chasse les denominaleurs , 



ab.cd ac.bd -4- bc.ad = o, 



exprime une relation g6n6rale entre quatre points quclconques situdsen ligne droite. 



Celle relation a 6t6 dmontre par Euler, algbriquement et geomtriquement : par 

 la premiere rcxHhode, en substiluant a certains facteurs leurs expressions en fonction 

 des autres, de maniere a produire une Equation idenlique; et par la seconde mdthode, 

 en form ml la figure qui repr^sente les trois rectangles dont se compose I'e'qualion; on 

 yoit a i -r mi-Hi que 1'un d'eui <5gale la somme des deux aulres. (Nooi Commentarii de 

 P6tersbourg, torn. I", ann. 1747 et 1748. fariai demons trationes Geometricce.) 



M. Poncelet a demontrtS aussi la mcme relation dans son Memoire tur let centres 

 det moyennes harmoniques. (Journal de M. Crelle, torn. Ill , pag. 269.) 



Le cercle jouit, par rapport a quatre droites issues d'un me'me point, d'une propri6t6 

 analogue a celle du systeme de deux transversales droites, exprime'e par les Equations 

 (A) ou (B). 



Celte propri6t6 consiste en ce que : 



Quand quatre droites, issues d'un meme point, rencontrent une circonference de 

 cercle , la premiere en a, a'j la teconde enb,b';/a troisiemeen c, c'; et la quatrieme 

 en d , d' ; on a la relation 



sin. { co sin. | da sin. -J- c'a' ^ sin. J d'a' 

 sin. i cb ' sin. db sin. j c'b' ' sin. j d'b' 



Cetle 6qnalion est analogue a la premiere des Equations (A). On aura scmblublemenl 

 deux autrcs equations semblables uux deux autres equations (A); et trois Equations seni- 

 blables aux Equations (B). 



Cetle propriety du cercle donne lieu a diverses propositions nouvelles. 



Nous appelons toute 1'attention des gonielres sur la notion du rapport anliarmoni- 

 que , qui, bien que tres-16mentaire, pourra 6lre extremement utile dans une foule de 

 speculations gometriques, ou elle procurera des demonstrations faciles et simples au- 

 lant que possible. Nous en ferons usage dans la Note X, sur 1'involution de six points, 

 et dans les Notes XV cl XVI, pour de'montrer, en quelques mots, pour ainsi dire, les 

 propridte's les plus g6n6rales des sections coniques. 



Cette th^orie ne sera pas moins utile dans la G6ometrie a trois dimensious. 



Proposons-nous , par exemple, de de'montrer la double glne'ralion de 1'hypcrboloide ii 

 une nappe par une droite, que nous pr6senterons sous cet enonce" : 



La surface enijendree par une droile mobile qui s'appitie sur trois droites fixes , 

 peut etre engendree d'une seconde maniere, par une droite mobile qui s'appuie sur 



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