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trois positions de la premiere droite generatrice ; et cette surface jouit de la pro- 

 priete que tout plan la coupe suioant une conique. 



La premiere partie de cette proposition repose sur les deux lemmes suivans, dont 1'un 

 est la r^ciproque de 1'autre , et qui me'ritent eux-memes d'etre enonce's comme th^oremes : 



Thoreme I. Quand quatre droiteg s'appuient chacune sur trois droites fixes si- 

 tuees d'une maniere quelconque dans I'espace , le rapport anharmonique des segmens 

 au'elles forment sur I' une de ces trois droites , est egal au rapport anharmonique 

 des seymens qu'elles forment sur I'une quelconque des deux autres. 



Ainsi soient L, L',L" les trois droites donnees dans I'espace; a, b, c, d, les points 

 ou les quatre droiles A, B, G, D, qui s'appuient sur elles, rencontrent la premiere L, et 

 a' , b' , c' , d ; a", b" , c" , d" , les points ou ces memes droiles rencontrent les deux 

 autres L', L". Je dis que le rapport anharmonique des quatre points a , b, c, d, est 

 egal a celui des quatre points a', b' ' , c, d . En eflet, chacun de ces deux rapports est 

 6gal a celui des quatre plans qui ont pour intersection commune la droite L", et qui 

 passent respeclivement par les quatre droites A, B, C, D. Ces deux rapports sont done 

 e'gaux entre eux. 



The'oreme II. Rdciproquement : Si quatre droites s'appuient sur deux droites fixes 

 dans I'espace , de maniere que le rapport anharmonique des segmens qu'elles font sur 

 I'une de ces deux droites soil egal au rapport anharmonique des segmens qu'elles font 

 surl'autre, toute droite qui s'appuiera sur trois de ces quatre droites s'appuierane- 

 cessairement sur la quatrieme. 



En eflet, soienl deux droites L, L' dans I'espace, et quatre droites A, B, C, D, qui 

 rencontrent la premiere aux points a, b, c, d, et la seconde aux points a , b , c , d' , de 

 maniere qu'on ait 



ca da c'a' d'a' 



~cb ' 7b == Tb 7 ' Zb' ' 



il faut prouver que ces quatre droites sont telles qu'une droite quelconque L", qui s'ap- 

 puiera sur les trois premieres A, B, G, renconlrera necessairement la quatrieme D. 



Pour cela , par le point d de la droite L, menons une droite D' qui s'appuie sur la droite 

 L' et sur la droile L"; soient $' , $", les points ou elle rencontrera ces deux droites. 

 Les quatre droites A, B, G, D', s'appuyant sur les trois droites L, L' et L", on aura, 

 d'apres le the'oreme I, 



ca da c'a' <f'a' 

 ~cb ' Tb == ~c 7 b' ' "?P" 



Cette Equation, compare'e a la pr6c6dente, fait voir que le point (J 7 se confond 

 le point d. Ainsi la droite D' menee par le point d, de maniere qu'elle s'appuie sur les deux 

 droites L' et L" est precis6ment la droite D. La droite L", qui s'appuie sur les trois 

 droites A, B, C, s'appuie done sur la quatrieme D. Ainsi le the'oreme est demontre'. 



Maintenant, soient trois droites L, L', L" dans I'espace, ct soient A, B, C, D,etc. , 



