NOTES. 307 



des positions ilUFe rentes d'unc droite mobile qui s'appuie sur ces trois droites : je dis 

 qu'une droile quelconque M, qui s'appuiera sur Ics droites A, B, C, renconlrera ne- 

 cessairement unc quatrieme I). Car en vertu du thcorome I, Ics quatre droites A, B, 

 C, D, font sur les deux L, L', dcs segmensdont Ics rapports anharmoniqucs sont cgaux; 

 done, en vertu du theoreme II, une droite qui s'appuie sur les trois premieres, ren- 

 contre necessairement la quatrieme. 



Ainsi, ij a it ml une droite mobile s'appuie ur troit droite* fixe*, touts droite qui 

 t'appuiera sur trois positions de la droite mobile, s'appuiera sur toutes let autres 

 positions de cette droite. 



Cela exprime la premiere parlie du theoreme cnonce. 



Pour demontrer la seconde partie, concevons un plan transversal quelcouque, qui 

 rencontrera les deux droites L , L', en deux points X, X', ct les quatre droites A, B, C, D, 

 en quatre points , 6, y, 3. Ces six points sonl sur la courbe d'intersection de la sur- 

 face par le plan. II s'agit done de demontrer qu'ils sont sur une section conique. Pour 

 cela il MI 111 I dc faire voir, d'apres unc proprieid generate des coniques, que nous 

 ddmontrerons dans la Note XV, que les quatre droites menees des points a, 6, y, <J, 

 au point A, ont leur rapport anharmonique e'gal a celui des quatre droites menses des 

 m6mes points au point X'. Or, le rapport anharmonique des quatre droites Aae, US, Ay, A, 

 est le inrnic que celui des quatre plans mentis par la droite L, et dont ces droites sont 

 les traces sur le plan transversal j et ce rapport est le m6me que celui des quatre points 

 in les droites A, B, C, D. par lesquelles passent ces plans, s'appuient sur la droite L'. 

 Pareillement le rapport anharmonique des quatre droites A'a , A'6 , A'y , A'^ est egal a 

 celui des quatre points ou les me'mcs droites A, B, C, D s'appuient sur la droite L. 

 Mais ces deux rapports anharmoniques des points ou les quatre droites A,B, C, D, ren- 

 contrent les deux droites L, L', sont e'gaux entre eux (thcoreme I) : done le rapport 

 anharmonique des quatre droites Aa, A, Ay, AJ, est egal a celui des quatre droites 

 A'a, A'6, A'y, A'A Done les six points a, 6 , y, <J, A, A', sont sur une conique. Done la 

 section de la surface par un plan transversal quelconque est une conique. C. Q. F. P. 



Ainsi le thdoreme de la double gnralion de 1'hyperbolo'ide a une nappe par une 

 droite est d^montre completement, et par des considerations geometriques toul-a-fait 

 elementaires. 



On demontre en analyse que les droiles menees par un point de 1'espace parallele- 

 ment aux generatrices de rhyperboloide, forment un c6ne qui est du second degre. 

 La theorie du rapport anharmonique donne encore une demonstration extremement 

 facile de cctte proposition. II sufilt d'appliquer a la section du c6ne par un plan le 

 raisonuement que nous venons de faire pour une section plane de 1'hyperbolo'ide ;ou voit 

 que cette section est encore une conique. 



Corollaire. Le theoreme I , consider^ par rapport a 1'hyperboloiide , exprime cette 

 propridld de celte surface: 



Quatre generatrices d'un ineme mode de generation d'un hyperbolo'ide a une 

 nappe font sur une generatrice quelconque du second mode de generation, quatre seg- 



