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cation ;et, reciproquement, celles-ci se deduisent aussi, aisdment, des equations (B). 

 Mais, puisque chacune des sept Equations constitue, a elle seule, 1'involution des six points , 

 il faut que d'une quelconque on puisse aussi deduire celles du meme groupe ; c'est-a-dire 

 d'une des trois equations (A) les deux autres; et d'une des Equations (B) les trois autres. 

 C'est en effet ce que Ton peut faire par le calcul, en transformant les differens segmens 

 de I'e'quation propos^e en d'autres qui se pretent a la demonstration cherchee. Mais cette 

 sorte de verification a posteriori est longue, exige des tatonnemens, et n'a rien d'eiegant. 



Aussi Ton se sert , pour montrer que 1'une des sept Equations (A) et (B) comporte les six 

 aulres, d'une propriete g(om6lrique des six points , a savoir: qu'on peut faire passer par 

 ces six points, les quatre c6t6s et les deux diagonales d'un quadrilatere. G'est ainsi 

 qu'ont fait MM. Brianchon et Poncelet. 



Mais nous avons trouv6 que la notion du rapport anharmonique de quatre points pro- 

 cure une demonstration encore plus simple el plus direcle , et conduit a beaucoup d'autres 

 relations qui auront, comme les equations (A) et (B) , leur degre d'utilite. Nous traiterons 

 de cet objct dans la deuxieme partie de cette Note. 



(7) Les equations (A), entre huit segmens, sont faciles a former. La nature des relations 

 (B), dans chacune desquelles n'entrent que six segmens, ne parait pas aussi facile, au 

 premier abord , a saisir ni aexprimer. Mais cependant voici une regie que nous crojons que 

 Ton pourra retenir sans efforts de memoire. 



Qu'on prenne trois points A, B, C, appartenant aux trois couples; chacun deux fera 

 deux segmens avec les conjugues des deux aulres; on aura ainsi six segmens; le produit 

 de trois de ces segmens, qui n'ont pas d'extremite commune , est egal au produit des 

 trois autres, 



(8) Considerons un quatrieme systeme de deux points conjugues D, D', et supposons 

 que ces deux points forment une involution avec les quatre A, A' et B, B'; on aura 1'6- 

 quation : 



AB.AB' _ A'B.A'B' 

 AD.A1)' = ~ A'D.A'D' ' 



La comparant avec la troisieme des equations (A), on en conclut 



AC.AC' A'C.A'C' 

 AD.AD' ' " A'D.A'D' ' 



Ce qui prouve que les six points A , A', G , G' et D , D', sont en involution. 



D'ou suit cette propriete generate de 1'involution des six points, savoir que : 



Si Von a en ligne droite plusieurs systemes de deux points , tels que les deux pre- 

 miers systemes forment avec chacun des autres une involution; trois quelconques de 

 tons ces systemes formeront aussi entre eux une involution. 



Ge theoreme admet plusieurs consequences qui sont tres-importantes dans la theorie 

 de 1'involution. 



